Harmonische Folge
Die harmonische Folge ist die mathematische Zahlenfolge der Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen, also die Folge<ref> Uni Heidelberg: Folgen und Reihen Folge (F3) - abgerufen am 3. Januar 2015.</ref>
- <math>1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\frac{1}{4},\;\frac{1}{5},\cdots</math>
mit dem allgemeinen Glied
- <math>a_n=\frac{1}{n}\quad n\ge1</math>.
Jedes Glied der harmonischen Folge mit <math>n\geq 2</math> ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe.
Die alternierende harmonische Folge hat das allgemeine Glied<ref> Uni Heidelberg: Folgen und Reihen Folge (F7) - abgerufen am 3. Januar 2015.</ref>
- <math>a_n=\frac{\left(-1\right)^{(n+1)}}{n}\quad n\ge1</math>.
Für <math>k \in \N</math> ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge
- <math>\left(a_n\right)_{n\in\N} = \left(\frac{1}{n^k}\right)_{n\in\N} = \left(1,\,\tfrac{1}{2^k},\,\tfrac{1}{3^k},\,\tfrac{1}{4^k},\,\tfrac{1}{5^k},\,\ldots\right)</math>
Eigenschaften
- Die harmonische Folge konvergiert gegen Null:<math>\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0</math>.
- Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
- Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.
Quellen
<references/>