Hadamard-Ungleichung
In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.
Klassische Hadamard-Ungleichung
Sei <math>M</math> eine <math>(n\times n)</math>-Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren <math>m_1,\dots,m_n</math>, dann gilt mit der Euklidischen Norm <math>\| \cdot \|_2</math>
- <math>|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_2.</math>
Mit der QR-Zerlegung <math>M=QR</math> der Matrix <math>M</math> gilt nämlich
- <math>|\det M|=|\det Q| \cdot |\det R| = |\det R| \le \|r_1\|_2 \cdot \ldots \cdot \|r_n\|_2,</math>
wobei <math>\|r_i\|_2=\|Qr_i\|_2=\|m_i\|_2</math> ist.
Geometrische Anschauung
Ist <math>M</math> eine <math>(n\times n)</math>-Matrix mit reellen Einträgen, so ist <math>|\det (M)|</math> das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren <math>m_i</math> aufgespannten <math>n</math>-dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen <math>\prod_{i=1}^n \|m_i\|_2</math> des <math>n</math>-dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen <math>\|m_i\|_2</math>.
Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung
Sei <math>(R,|\cdot|)</math> ein kommutativer Ring mit Pseudobewertung und <math>M</math> eine <math>(n\times n)</math>-Matrix über <math>R</math> mit den Zeilenvektoren <math>m_1,\dots,m_n</math>. Dann gilt
- <math>|\det M|\,\leq\, \prod_{i=1}^n \|m_i\|_1</math>
mit der 1-Pseudonorm.
Bemerkungen
- Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen <math>\|x\|_2\leq \|x\|_1</math> die schärfere Abschätzung.
- Liegt ein Ring <math>R\subseteq\mathbb C</math> mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (bspw. die ganzen Zahlen <math>\Z</math>), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.
Literatur
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