Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren<ref>Basiswissen Schule Mathematik, S. 145.</ref> ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens und insbesondere dann sinnvoll, wenn beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst vorliegen.<ref>Basiswissen Schule Mathematik, S. 145–146.</ref>
Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die beiden erhaltenen Terme gleichgesetzt. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die eine Variable weniger als das ursprüngliche Gleichungssystem enthält. Durch Auflösen erhält man den oder die Werte der verbliebenen Variablen und durch Einsetzen dieser Lösung(en) in eine der beiden Ausgangsgleichungen die zugehörigen Werte der zuvor eliminierten Variablen.<ref group="A">Man wird natürlich nur Lösungen für die beiden Variablen erhalten, wenn das ursprüngliche Gleichungssystem lösbar ist.</ref>
Beispiele
Lineares Gleichungssystem
Es wird das folgende lineare Gleichungssystem betrachtet:
- <math>\begin{align}
& (\text{I}) & 3x + y & = -1\\ & (\text{II})& -2x + y & = 4 \end{align}</math> Zunächst werden die beiden Gleichungen nach einer der Variablen umgestellt; hier bietet sich <math>y</math> an:
- <math>\begin{align}
& (\text{I'}) & y & = -1 - 3x\\ & (\text{II'})& y & = 4 + 2x \end{align}</math> Gleichsetzen der beiden Terme („<math>y=y</math>“) liefert
- <math>-1 - 3x = 4 + 2x </math>.
Aus dieser Gleichung erhält man durch elementare Termumformungen <math>x=-1</math>. Setzt man diesen Wert in eine der Ausgangsgleichungen (oder in eine der umgestellten Gleichungen) ein, so erhält man den zugehörigen Wert <math>y=2</math>. Also hat das Gleichungssystem die Lösung <math>(-1;\;2)</math>.
Nichtlineares Gleichungssystem
Es wird das folgende nichtlineare Gleichungssystem betrachtet:
- <math>\begin{align}
& (\text{I}) & y & = x - 1\\ & (\text{II})& y & = -x^2 + 8x - 11 \end{align}</math> Die rechten Seiten der beiden Gleichungen können sofort gleichgesetzt werden, weil die linken Seiten identisch sind („<math>y=y</math>“):
- <math>x - 1 = -x^2 + 8x - 11</math>.
Durch elementare Äquivalenzumformungen lässt sich diese Gleichung in Normalform überführen:
- <math>x^2 - 7x + 10 = 0</math>.
Diese Gleichung hat die beiden Lösungen <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2=5</math> (siehe pq-Formel). Schließlich setzt man jeweils die Werte <math>x_1</math> und <math>x_2</math> in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhält dadurch die zugehörigen Werte <math>y_1=2</math> und <math>y_2=1</math>. Das Gleichungssystem hat somit die zweielementige Lösungsmenge
- <math>\mathbb{L} = \{(2;\,1), (5;\,4)\}</math>.
Siehe auch
Literatur
- Duden (Hrsg.): Mathematik (= Basiswissen Schule.). 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6.
- Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 8–9.
Weblinks
- <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20100325225907
| {{#ifeq: 20100325225907 | *
| {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }} (Archivversionen)
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|20100325225907}}
| {{#if: || }}Der Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
| {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20100325225907}} im Internet Archive{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
}}
| {{#if:
| {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
| {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
| 16= {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| 9 = {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }} {{#ifeq: | [] | [ | ( }}{{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
| #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!{{#if: || }}
}}
| c|{{{webciteID}}}}} {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }} ({{#if: {{#if: | {{{archiv-bot}}} | }} | des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if: | ; }}{{#ifeq: | [] | ] | ) }}
}}
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Today
| {{#if:
| Vorlage:Webarchiv/Generisch
| {{#if: Das Gleichsetzungsverfahren. | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Das Gleichsetzungsverfahren.}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}} }}
}}}}}}}}{{#if:
| Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = url=
|opt = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
|cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
|errNS = 0
|template = Vorlage:Webarchiv
|format = *
|preview = 1
}}{{#ifexpr: {{#if:20100325225907|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
}}{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
| web.archive.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}}
| webcitation.org =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}}
| archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn =
{{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
}}{{#if:
| {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
| }}
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
}}
| {{#if:
| {{#if: || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
}}
}}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm}}
|| {{#if: || }}
}}{{#if: Das Gleichsetzungsverfahren.
| {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|Das Gleichsetzungsverfahren.}}
| {{#if: || }}
}}
| {{#if: || }}
}}{{#switch:
|addlarchives|addlpages= {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
}}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm%7Carchiv}} |-1
|| {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm%7C4}}%7Chttp}} |-1
|| {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm }}
| abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org =
| #default = {{#if: || }}{{#if: 1 |}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
}}
}}
}} im Online-Mathematikbuch.
Anmerkungen
<references group="A" />
Einzelnachweise
<references />