Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren oder Substitutionsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Gleichsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und der so erhaltene Term in die anderen Gleichungen eingesetzt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Dadurch wird die entsprechende Variable „eliminiert“. Manchmal kann man auf diese Art schrittweise alle Variablen bis auf eine eliminieren (insbesondere bei linearen Gleichungssystemen), so dass nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt. Lässt sich diese auflösen, so kann man dann von unten alle Variablen einsetzen (Rücksubstitution), um die Werte für alle anderen Variablen zu erhalten.

Lineares 2×2-Gleichungssystem

Bei einem linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten liefert der folgende Algorithmus immer die Lösung (falls diese existiert und eindeutig ist):

Schritt 1: Auflösung einer der beiden Gleichungen nach einer Variablen
Schritt 2: Einsetzen des in Schritt 1 erhaltenen Terms in die andere Gleichung
Schritt 3: Auflösen der im Schritt 2 erhaltenen Gleichung nach der enthaltenen Variablen
Schritt 4: Einsetzen der Lösung in die nach Schritt 1 umgeformte Gleichung

Beispiel

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

<math>\begin{align}

& (\text{I}) & 12x - 5y & = 29 \\ & (\text{II}) & 18x + 2y & = 34 \end{align}</math>

Löst man z. B. die Gleichung <math>(\text{II})</math> nach <math>y</math> auf, so erhält man

<math>\begin{align}

& (\text{II'}) & y = 17 - 9x \end{align}</math>.

Nun wird in Gleichung <math>(\text{I})</math> für die Variable <math>y</math> der Term <math>17 - 9x</math> eingesetzt:

<math>

12x  - 5 \cdot (17 - 9x)  =  29

</math>.

Dies ist eine lineare Gleichung in einer Variablen <math>x</math>, die man mit elementaren Äquivalenzumformungen nach <math>x</math> auflösen kann. Man erhält die Lösung <math>x=2</math>, die im letzten Schritt in die umgestellte Gleichung <math>(\text{II'})</math> eingesetzt wird:

Die Lösungsmenge ist somit <math>\mathbb{L}=\{(2;{-1})\}</math>.

Nichtlineare Gleichungssysteme

Bei nichtlinearen Gleichungssystemen gibt es keinen Algorithmus, der immer die Lösung(en) liefert. Im Allgemeinen können nichtlineare Gleichungssysteme ohnehin nur numerisch gelöst werden. In einfachen Fällen kann das Einsetzungsverfahren jedoch analog zu linearen Gleichungssystemen eingesetzt werden.

Beispiel

Es wird das folgende nichtlineare Gleichungssystem betrachtet:

<math>\begin{align}

& (\text{I}) & x + y & = 3\\ & (\text{II})& x \cdot y & = 2 \end{align}</math> Zunächst stellt man eine Gleichung nach einer Variablen um, z. B. Gleichung <math>(\text{II})</math>: <math>y=2/x</math>, wobei <math>x \neq 0</math> vorausgesetzt wird.<ref group="A">Der Fall <math>y=0</math> kann ausgeschlossen werden, da die Gleichung <math>x \cdot y = 2</math> in diesem Fall nicht erfüllbar ist.</ref> Nun setzt man in Gleichung <math>(\text{I})</math> für <math>y</math> den Term <math>2/x</math> ein und erhält die Gleichung

<math>

x+\frac{2}{x} = 3 </math>. Hieraus folgt nach Multiplikation mit <math>x</math> und Subtraktion von <math>3x</math> die quadratische Gleichung

<math>x^2 - 3x +2 =0</math>.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen <math>x_1 = 1 </math> und <math>x_2 = 2</math> (siehe pq-Formel). Schließlich setzt man jeweils die Werte <math>x_1</math> und <math>x_2</math> in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhält dadurch die zugehörigen Werte <math>y_1 =2</math> und <math>y_2 = 1</math>. Das Gleichungssystem hat somit die beiden Lösungen

<math>\mathbb{L} = \{(2;1), (1;2)\}</math>.

Siehe auch

Anmerkungen

Literatur

Jens Kunath: Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 9–12.

Einzelnachweise