Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

Sei <math>\mathcal{A}</math> eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten <math>X</math> und <math>Z</math> aus <math>\mathcal{A}</math> sei <math>\mathcal{E}</math> die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

<math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.</math>

Auf <math>\mathcal{E}</math> wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> und <math>0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0</math> sind äquivalent, wenn es einen Morphismus <math>g \colon Y\to Y'</math> gibt, so dass das Diagramm

<math>\begin{matrix}

0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\ 0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix} </math> kommutiert. Dabei ist <math>\operatorname{id}</math> der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus <math>g</math> gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse <math>\mathcal{E}</math> modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.<ref>Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: Homological Algebra, Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3</ref><ref>Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4</ref>

Funktorialität

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass <math>\mathrm{Ext}</math> zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu <math>g \colon X\to X'</math> und der Sequenz <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> kann man den Push-out bilden:

<math>\begin{matrix}

0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \\ 0 & \to & X' & \to & Y' \end{matrix} </math>

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

<math>\begin{matrix}

0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\ & & \downarrow g && \downarrow && \downarrow \operatorname{id} \\ 0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0 \end{matrix} </math>

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in <math>\mathrm{Ext}(Z,X')</math>.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0</math> ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z,X')</math>.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu <math>g \colon Z'\to Z</math> und der Sequenz <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> kann man folgenden Pull-back bilden:

<math>\begin{matrix}

& & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\

& & && \downarrow && \downarrow g\\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix}. </math>

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

<math>\begin{matrix}

0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\ & & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow && \downarrow g \\ 0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0 \end{matrix} </math>

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in <math>\mathrm{Ext}(Z',X)</math>.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0</math> ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z',X)</math>.

Ext als Ableitung des Hom-Funktors

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor <math>\mathrm{Hom}(-,X)</math> und definiert

<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) := R_n\mathrm{Hom}(-,X)(Z)</math>,

das heißt man bildet die <math>n</math>-te Rechtsableitung von <math>\mathrm{Hom}(-,X)</math> und wendet den so entstandenen Funktor auf <math>Z</math> an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei <math>n\ge 1</math> und

<math>\begin{array}{ccccc}

\ldots \rightarrow & P_n & \rightarrow & P_{n-1} & \rightarrow \ldots \rightarrow Z \rightarrow 0 \\ & \lambda_n \downarrow & \nearrow \kappa_n \\ & K_n \end{array}</math> eine projektive Auflösung von <math>Z</math> mit einem Epimorphismus <math>\lambda_n:P_n\rightarrow K_n</math> und einem Monomorphismus <math>\kappa_n:K_n \rightarrow P_{n-1}</math>, so dass <math>(P_n \rightarrow P_{n-1}) = \kappa_n\circ \lambda_n</math>. Weiter sei <math>\kappa_n^* = \mathrm{Hom}(\kappa_n,X)</math> der induzierte Homomorphismus

<math>\kappa_n^*: \mathrm{Hom}(P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm{Hom}(K_n,X),\, f\mapsto f\circ \kappa_n</math>.

Dann ist

<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong \mathrm{coker}(\kappa_n^*) = \mathrm{Hom}(K_n,X)/\kappa_n^*( \mathrm{Hom}(P_{n-1},X))</math>.

Die Elemente aus <math>\mathrm{Ext}^n(Z,X)</math> sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus <math>\mathrm{Hom}(K_n,X)</math>.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13</ref>

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von <math>X</math> und <math>Z</math> auch vertauschen kann, man erhält

<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong R_n\mathrm{Hom}(Z,-)(X)</math>.

Zusammenhang zwischen Ext und Ext¹

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte <math>\mathrm{Ext}</math> und <math>\mathrm{Ext}^1</math> zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung <math>\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)</math>.

Sei <math>0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> definiert. Weiter sei <math>0 \rightarrow K \rightarrow P \rightarrow Z \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz mit projektivem <math>P</math>. Mittels der Projektivität von <math>P</math> kann man ein kommutatives Diagramm

<math>\begin{array}{ccccccc}

0 \rightarrow & K & \rightarrow & P & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \\ & \downarrow \psi & & \downarrow \varphi & & \Vert \\ 0 \rightarrow & X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \end{array}</math> konstruieren. Dann ist <math>\psi \in \mathrm{Hom}(K,X)</math> ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von <math>\mathrm{Ext}^n(Z,X)</math> ein Element aus <math>\mathrm{Ext}^1(Z,X)</math> definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0</math> in <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>\psi</math> in <math>\mathrm{Ext}^1(Z,X)</math> ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung <math>\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)</math>, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5</ref>

Daher kann man <math>\mathrm{Ext}</math> mit <math>\mathrm{Ext}^1</math> identifizieren, das heißt <math>\mathrm{Ext}</math> kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des <math>\mathrm{Hom}</math>-Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

<math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math>

und ein weiteres Objekt (Modul) <math>A</math> hat man eine exakte Sequenz

<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z)</math>,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von <math>\mathrm{Ext}^n</math> auf <math>n=0</math> ausdehnt, so hat man <math>\mathrm{Ext}^0 = \mathrm{Hom}</math>. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z) </math>

<math>\rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Y) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Z) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(A,X) \rightarrow \ldots</math>.

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(Z,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(Y,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(X,A) </math>

<math>\rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Y,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(X,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(Z,A) \rightarrow \ldots</math>.

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.<ref>Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1</ref>

Einzelnachweise

<references />