Erblicher Ring

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring <math>R</math> in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring <math>R</math> heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven <math>R</math>-Moduls projektiv ist.<ref>Louis D. Tarmin: Lineare Algebra Moduln 2, Tschampel BuchMat 4.B (2008), ISBN 3-934-67151-9, Definition 1.134.1</ref> Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring <math>R</math> heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven <math>R</math>-Linksmoduls projektiv ist.<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.8.11</ref> Entsprechend heißt ein Ring <math>R</math> rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven <math>R</math>-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).

Beispiele

Jeder Körper <math>K</math> ist erblich, da alle <math>K</math>-Moduln (= <math>K</math>-Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
<math>\begin{pmatrix} \Q & \Q \\ 0 & \Z \end{pmatrix} := \left\{ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ 0 & a_{2,2} \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2,\Q) \mid a_{2,2} \in \Z \right\}</math> ist links-erblich, aber nicht rechts-erblich.<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Aufgabe 2.8.5</ref>
Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.

Einzelnachweise