Epanechnikov-Kern
Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:
- <math>k(x) \geq 0</math> für alle <math>x \in \R</math>
- <math>\int k(x)\, {\mathrm d}x = 1</math>
- <math>\int x^2 k(x)\, {\mathrm d}x = 1</math>
- <math>\int k^2(x)\, {\mathrm d}x</math> wird minimiert.
Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form <math>a+bx^2</math>.
Wir wollen die numerischen Faktoren <math>a,b</math> des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie <math>k_{n,d}(x)</math>, deren Terme im Interval <math>[-d,d]</math> eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe <math>\tfrac{1}{2d}</math> konvergiert:
- <math>
k_{n,d}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2d} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)\left( 1 - \left(\frac{x}{d} \right)^{2n} \right) &, |x| \leq d\\ 0 &, |x| > d \end{cases} </math> Für diese gilt
- <math>
\int_{-\infty}^\infty x^{2n}k_{n,d}(x)\,{\mathrm d}x=\frac{d^{2n}}{4n+1}.</math> Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für <math>n=1</math> auf Eins. Für <math>\left(\tfrac{d}{\sqrt{4+1}}\right)^2=1</math> wählen wir also <math>k_E:=k_{1,\sqrt{5}}</math><ref>V. A. Epanechnikov: Non-Parametric Estimation of a Multivariate Probability Density. In: Theory of Probability and its Applications, 1969, S. 156</ref>:
- <math>
k_E(x) = \begin{cases} \frac{3}{4 \sqrt{5}} \left( 1- \frac{x^2}{5}\right) &, |x| \leq \sqrt{5}\\ 0 &, |x| > \sqrt{5} \end{cases} </math>
Mitunter wird auch der Kern mit <math>d=1</math> als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:
- <math>k_E(x) = \begin{cases}
\frac{3}{4}(1-x^{2}) &, |x| \leq 1\\ 0 &, |x| > 1 \end{cases}</math>
Weblinks
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Quellen
<references />