Elliptische Koordinaten
Elliptische Koordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt wird, siehe Bild.<ref name="Salmon"/>
Elliptische Koordinaten erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung,<ref name="Spencer" details="8"/> was deren Lösung stark vereinfacht. Elliptische Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets ellipsen- oder hyperbelförmig sind.
Dreidimensionale elliptische Koordinaten entstehen unter anderem durch Extrusion senkrecht zur Ebene, was #Elliptische Zylinderkoordinaten ergibt, oder Rotation um die horizontale oder vertikale Achse im Bild.
Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung separiert und für spezielle Formen der potentiellen Energie auch gelöst werden.<ref name="Morse" details="512f"/><ref name="Schrödinger-Gleichung"/>
Elliptische Koordinaten in der Ebene
Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen <math>-c</math> und <math>+c</math> auf der <math>x</math>-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten <math>u,\psi\in\R^{\ge0},\psi<2\pi</math><ref name="Spencer" details="17"/> hat dann die kartesischen Koordinaten
<math> \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c\cdot\cosh u\cdot\cos\psi\\ c\cdot\sinh u\cdot\sin\psi\end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix}u\\\psi\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {\rm acosh}\left(\frac{w_2}{\sqrt{c}}\right) \\ {\rm atan2}(y\,w_2,x\,w_1) \end{pmatrix} </math>
mit
| • sin, cos: | Sinus und Cosinus |
| • sinh, cosh: | Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus |
| • acosh: | Areakosinus hyperbolicus, |
| • atan2: | eine Umkehrfunktion des Tangens |
| • <math>w_1</math>: | <math>
=\sqrt{ m_1 +\sqrt{ m_1^2 + y^2 } },\;m_1:=\frac{x^2+y^2-c^2}{2c}</math>, und |
| • <math>w_2</math>: | <math>
=\sqrt{ m_2 +\sqrt{ m_2^2 - x^2 } },\;m_2:=\frac{x^2+y^2+c^2}{2c}</math> |
Alternative inverse Transformationen von kartesischen zu elliptischen Koordinaten werden mit Fallunterscheidungen im unten zitierten Lehrbuch Explicit Equations to Transform from Cartesian to Elliptic Coordinates angegeben.<ref>Explicit Equations to Transform from Cartesian to Elliptic Coordinates, MMA. 2, 43 (2017) auf doi.org</ref><ref>Elliptic Coordinates - Inverting the transformation, auf math.stackexchange.com</ref> Ohne Herleitung bleibt fraglich, welche dieser Transformationen korrekt ist.
Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf mit imaginärer Einheit i2=-1, so gilt
- <math>x + {\rm i} y=c\cdot\cosh(u + {\rm i}\psi).</math>
Der Kosinus hyperbolicus ist eine Holomorphe Funktion, was die Orthogonalität der elliptischen Koordinaten in der Ebene begründet.
Koordinatenlinien
Die Kurven in der xy-Ebene, auf denen u konstant ist (was die Niveaulinien von u in der xy-Ebene sind,) bilden die Ellipsen<ref name="Spencer" details="17"/>
- <math>\frac{x^2}{(c\cosh u)^2} +\frac{y^2}{(c\sinh u)^2}=1</math>
Die Niveaulinien von ψ sind die konfokalen Hyperbeln
- <math>\frac{x^2}{(c\cos\psi)^2} -\frac{y^2}{(c\sin\psi)^2}=1</math>
die nur in Vielfachen von π⁄2 bzw. 90°, wie in Polarkoordinaten radiale Geraden sind: Für <math>u=0</math> ist die ψ-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für <math>\psi=0</math> ist die <math>u</math>-Koordinatenlinie zur Halbgeraden <math>\left[c,\infty\right[</math> auf der <math>x</math>-Achse entartet, für <math>\psi=\pi</math> zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen <math>x</math>-Achse. Für <math>\psi=\tfrac\pi 2</math> und <math>\psi=\tfrac{3\pi}2</math> ist die <math>u</math>-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative <math>y</math>-Achse.
Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität <math>e=c</math>. Die Ellipsen, auf denen <math>u</math> konstant ist, haben die große Halbachse <math>a=c\cosh u</math>, die kleine Halbachse <math>b=c\sinh u</math> und numerische Exzentrizität <math>\varepsilon=\tfrac 1{\cosh u}</math>. Die Hyperbeln, auf denen <math>\psi</math> konstant ist, haben die waagerechte Halbachse <math>a=c\cos\psi</math>, die senkrechte Halbachse <math>b=c\sin\psi</math> und numerische Exzentrizität <math>\varepsilon=\tfrac 1 {\cos\psi}</math>.
Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse (<math>a^2=e^2+b^2</math>) bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln (<math>a^2=e^2-b^2</math>) trivial erfüllen.
Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in der Ebene
Die kovarianten Basisvektoren sind
- <math>
\vec g_u=\frac{\partial}{\partial u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi)\\\cosh(u)\sin(\psi)\end{pmatrix} ,\quad \vec g_\psi=\frac{\partial}{\partial\psi}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi)\\\sinh(u)\cos(\psi)\end{pmatrix} </math>
die, wie es sein muss, senkrecht zueinander sind, und deren Beträge die metrischen Faktoren sind:<ref name="Spencer" details="18"/>
- <math>
h_u:=|\vec g_u|=c\sqrt{\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2},\quad h_\psi:=|\vec g_\psi|=h_u:=h </math>
Das elliptische Orthonormalsystem ist dementsprechend
- <math>
\hat c_u=\frac ch\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi)\\\cosh(u)\sin(\psi)\end{pmatrix} ,\quad \hat c_\psi=\frac ch\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi)\\\sinh(u)\cos(\psi)\end{pmatrix} </math>
Das Linien- und Flächenelement ergibt sich zu<ref name="Spencer" details="18"/>
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_u{\rm d} u+\vec g_\psi{\rm d}\psi \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =c^2(\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2)({\rm d} u^2+{\rm d}\psi^2) \\ {\rm d}A:=&c^2(\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2){\rm d} u\,{\rm d}\psi \end{align}</math>
Operatoren in der Ebene
Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf<ref name="Spencer" details="18"/> <math>(h=c\sqrt{\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2},\vec v=v_u\hat c_u+v_\psi\hat c_\psi)</math>
| Gradient: | <math>{\rm grad}\,f=\frac1h\left(\hat c_u\frac{\partial f}{\partial u}
+\hat c_\psi\frac{\partial f}{\partial\psi}\right) </math> |
| Divergenz: | <math>{\rm div}\,\vec v
=\frac1{h^2}\left(\frac{\partial(hv_u)}{\partial u} +\frac{\partial(hv_\psi)}{\partial\psi}\right)</math> |
| Rotation: | <math>{\rm rot}\,\vec v
=\frac1{h^2} \left(\frac{\part(hv_\psi)}{\partial u}-\frac{\part(hv_u)}{\partial\psi}\right) </math> |
| Laplace-Operator: | <math>\Delta f=\frac1{h^2}
\left(\frac{\partial^2f}{\partial u^2} +\frac{\partial^2f}{\partial\psi^2}\right)</math> |
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in der Ebene
Die besondere Form des Laplace-Operators erlaubt eine Lösung der Helmholtz-Gleichung durch multiplikative Trennung der Veränderlichen gemäß dem Separationsansatz<ref name="Spencer" details="20"/>
- <math>\phi( u,\psi)=U(u)\cdot\Psi(\psi)</math>
Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:
- <math>\Delta\phi( u,\psi)
=\frac1{c^2[\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2]}\left(\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}\Psi +U\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}\right)=\lambda\cdot U\cdot\Psi </math>
Multiplikation beider Seiten mit <math>\tfrac{c^2[\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2]}{U\cdot\Psi}</math> liefert umgestellt
- <math>\lambda c^2\cosh(u)^2-\frac{\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}}U
=\lambda c^2\cos(\psi)^2+\frac{\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}}\Psi </math>
Weil die linke Seite nur von u und die rechte nur von ψ abhängt, stehen auf beiden Seiten Konstanten:
- <math>\begin{align}
\lambda c^2\cosh(u)^2-\frac{\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}}U =\kappa^2\rightarrow \frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}+[\kappa^2-\lambda c^2\cosh(u)^2]U=0 \\ \lambda c^2\cos(\psi)^2+\frac{\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}}\Psi=\kappa^2\rightarrow \frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}-[\kappa^2-\lambda c^2\cos(\psi)^2]\Psi=0 \end{align}</math>
Im Fall der Laplace-Gleichung ist λ=0 und die Lösungsfunktion kann mit dem Sinus und Cosinus sowie dem Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ausgedrückt werden:
- <math>\phi( u,\psi)
=[A\sin(\kappa u)+B\cos(\kappa u)][C\sinh(\kappa\psi)+D\cosh(\kappa\psi)] </math>
Die Konstanten A, B, C, D und κ dienen der Anpassung an Randbedingungen. Wenn die Separationskonstante κ2 mit negativem Vorzeichen angesetzt wird, vertauschen sich in der Lösungsfunktion die Winkelfunktionen durch die Hyperbelfunktionen und umgekehrt.
Elliptische Zylinderkoordinaten
Die elliptischen Zylinderkoordinaten entstehen aus den ebenen elliptischen Koordinaten des vorangegangenen Abschnitts durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene in z-Richtung, sodass viele Eigenschaften von dort hierher übertragen werden können.
Die elliptischen Zylinderkoordinaten <math>u,\psi,z\in\R, u\ge0,0\le\psi<2\pi</math> und die kartesischen <math>(x,y,z)</math> hängen wie folgt zusammen:<ref name="Spencer" details="17"/>
<math> \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c\cdot\cosh u\cdot\cos\psi\\ c\cdot\sinh u\cdot\sin\psi\\z\end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix}u\\\psi\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {\rm acosh}\left(\frac{w_2}{\sqrt{c}}\right) \\ {\rm atan2}(y\,w_2,x\,w_1) \\z \end{pmatrix} </math>
Bezeichnungen siehe #Elliptische Koordinaten in der Ebene.
Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in elliptischen Zylinderkoordinaten
Die kovarianten Basisvektoren sind mit <math>\vec r=(x,y,z)^\top</math>:
- <math>
\vec g_u:=\frac{\partial\vec r}{\partial u} =c\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi)\\\cosh(u)\sin(\psi)\\0\end{pmatrix} ,\quad \vec g_\psi:=\frac{\partial\vec r}{\partial\psi} =c\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi)\\\sinh(u)\cos(\psi)\\0\end{pmatrix} ,\quad \vec g_z:=\frac{\partial\vec r}{\partial z} =\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} </math>
die, wie in der Ebene, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die metrischen Faktoren lauten wie in der xy-Ebene:<ref name="Spencer" details="18"/>
- <math>
h_u:=|\vec g_u|=c\sqrt{\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2},\quad h_\psi:=|\vec g_\psi|=h_u:=h,\quad h_z=1 </math>
Das elliptische Orthonormalsystem ist dementsprechend
- <math>
\hat c_u=\frac ch\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(\psi)\\\cosh(u)\sin(\psi)\\0\end{pmatrix} ,\quad \hat c_\psi=\frac ch\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(\psi)\\\sinh(u)\cos(\psi)\\0\end{pmatrix} ,\quad \hat c_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} </math>
Das Linien- und Flächen und Volumenelement ergibt sich zu<ref name="Spencer" details="18"/><ref name="Werner" details="392"/>
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_u{\rm d} u+\vec g_\psi{\rm d}\psi+\vec g_z{\rm d}z \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =c^2(\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2)({\rm d} u^2+{\rm d}\psi^2)+{\rm d}z^2 \\ {\rm d}A:=&c^2(\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2)\hat c_z{\rm d} u\,{\rm d}\psi +h\,{\rm d}z (\hat c_\psi{\rm d} u+\hat c_u{\rm d}\psi) \\ {\rm d}V:=&c^3(\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2){\rm d}u\,{\rm d}\psi\,{\rm d}z \end{align}</math>
Operatoren in elliptischen Zylinderkoordinaten
Die üblichen Differentialoperatoren führt die Tabelle auf<ref name="Spencer" details="18"/><ref name="Werner" details="403ff"/> <math>(h=c\sqrt{\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2},\vec v=v_u\hat c_u+v_\psi\hat c_\psi+v_z\hat c_z)</math>
| Gradient: | <math>{\rm grad}\,f=\frac1h\left(\hat c_u\frac{\partial f}{\partial u}
+\hat c_\psi\frac{\partial f}{\partial\psi}\right) +\hat c_z\frac{\partial f}{\partial z} </math> |
| Divergenz: | <math>{\rm div}\,\vec v
=\frac1{h^2}\left(\frac{\partial(hv_u)}{\partial u} +\frac{\partial(hv_\psi)}{\partial\psi} +\frac{\partial(h^2v_z)}{\partial z} \right)</math> |
| Rotation: | <math>\begin{align}
{\rm rot}\,\vec v =& \frac{\hat c_u}h \left(\frac{\partial v_z}{\partial\psi}-\frac{\part(h v_\psi)}{\partial z}\right) + \frac{\hat c_\psi}h \left(\frac{\part(hv_u)}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial u}\right) \\& +\frac{\hat c_z}{h^2} \left(\frac{\part(h v_\psi)}{\partial u}-\frac{\part(hv_u)}{\partial\psi}\right) \end{align}</math> |
| Laplace-Operator: | <math>\Delta f=\frac{1}{h^2}\left(
\frac{\part^2 f}{\partial u^2} +\frac{\part^2 f}{\partial \psi^2}\right) +\frac{\part^2 f}{\partial z^2} </math> |
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in elliptischen Zylinderkoordinaten
Die besondere Form des Laplace-Operators erlaubt eine Lösung der Helmholtz-Gleichung durch multiplikative Trennung der Veränderlichen gemäß dem Separationsansatz<ref name="Spencer" details="20"/>
- <math>\phi( u,\psi,z)=U(u)\cdot\Psi(\psi)\cdot Z(z)</math>
Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:
- <math>\Delta\phi( u,\psi,z)
=\frac1{c^2[\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2]}\left(\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}\Psi Z +U\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}Z\right) +U\Psi\frac{{\rm d}^2Z}{{\rm d}z^2} =\lambda\cdot U\cdot\Psi\cdot Z </math>
Division durch <math>\phi=U\cdot\Psi\cdot Z</math> liefert
- <math>
\frac1{c^2[\cosh(u)^2-\cos(\psi)^2]}\left( \frac{\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}}U +\frac{\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}}\Psi \right) +\frac{\frac{{\rm d}^2Z}{{\rm d}z^2}}Z =\lambda </math>
Weil auf der rechten Seite eine Konstante steht und nur letzte Term auf der linken Seite von z abhängt, ist dieser ebenfalls konstant:
- <math>\frac{\frac{{\rm d}^2Z}{{\rm d}z^2}}Z=\eta\;\rightarrow
\frac{{\rm d}^2Z}{{\rm d}z^2}-\eta Z=0 </math>
Für die Gleichung darüber ergibt sich nach Umstellung wie in der Ebene nur mit λ-η statt λ
- <math>(\lambda-\eta)c^2\cosh(u)^2-\frac{\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}}U
=(\lambda-\eta)c^2\cos(\psi)^2+\frac{\frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}}\Psi =\kappa^2 </math>
Wie in der Ebene führt das auf unabhängige gewöhnliche Differenzialgleichungen:<ref name="Spencer" details="18"/>
- <math>\begin{align}
\frac{{\rm d}^2 U}{{\rm d} u^2}+[\kappa^2-(\lambda-\eta)c^2\cosh(u)^2]U=0 \\ \frac{{\rm d}^2\Psi}{{\rm d}\psi^2}-[\kappa^2-(\lambda-\eta)c^2\cos(\psi)^2]\Psi=0 \\ \frac{{\rm d}^2Z}{{\rm d}z^2}-\eta Z=0 \end{align}</math>
Sphäroid-Koordinaten
Sphäroidkoordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt im Raum durch Angabe der Lage auf konfokalen Rotationsellipsoiden (rot im Bild), Rotationshyperboloiden (blau) und einer Halbebene (gelb) bestimmt wird, siehe Bild. Diese Koordinaten gibt es in zwei Varianten:
- Gestreckte Sphäroidkoordinaten
- Hier wird die Ellipse um ihre große Halbachse rotiert und das Rotationshyperboloid ist zweischalig, siehe unten.
- Abgeplattete Sphäroidkoordinaten
- Hier wird die Ellipse wie im Bild um ihre kleine Halbachse rotiert und das Rotationshyperboloid ist einschalig.
Beide Formen werden in zwei verschiedenen Parametrisierungen der Rotationsflächen benutzt.
Diese Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets Rotationsflächen von Ellipsen oder Hyperbeln sind.
Gestreckte Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> berechnen sich aus den gestreckten Sphäroidkoordinaten Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Anker“ ist nicht vorhanden. <math>\eta,\theta,\psi\in\R^{\ge0},\,\theta\le\pi,\,\psi\le2\pi</math> gemäß:<ref name="Spencer" details="28"/>
<math> \vec r:= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} \sinh(\eta)\sin(\theta)\cos(\psi)\\ \sinh(\eta)\sin(\theta)\sin(\psi)\\ \cosh(\eta)\cos(\theta) \end{pmatrix} </math>
Koordinatenflächen in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
In gestreckten Sphäroidkoordinaten<ref name="Spencer" details="28"/> (η,θ,ψ) bestehen die Koordinatenflächen aus einem Ellipsoid (η=const., rot im Bild),
- <math>\frac{z^2}{(a\cosh\eta)^2}+\frac{x^2+y^2}{(a\sinh\eta)^2}=1</math>
einem zweischaligen Rotationshyperboloid (θ=const., blau)
- <math>\frac{z^2}{(a\cos\theta)^2}-\frac{x^2+y^2}{(a\sin\theta)^2}=1
</math>
und einer Halbebene (ψ=const., gelb) mit
- <math>y=x\tan\psi</math>
Hieraus ergibt sich andererseits
- <math>\begin{align}
\cosh(\eta)^2=&\frac{x^2+y^2+z^2+a^2 +\sqrt{(x^2+y^2+z^2+a^2)^2-4 a^2 z^2}}{2a^2} \\ \cos(\theta)^2=& \frac{x^2+y^2+z^2+a^2-\sqrt{(x^2+y^2+z^2+a^2)^2-4 a^2 z^2}}{2a^2} \\ \tan(\psi)=&\frac yx \end{align}</math>
Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.
Die kovarianten Basisvektoren sind mit <math>\vec r=(x,y,z)^\top</math>:
- <math>
\vec g_\eta:=\frac{\partial\vec r}{\partial\eta} =\begin{pmatrix}x\coth(\eta)\\y\coth(\eta)\\z\tanh(\eta)\end{pmatrix} ,\; \vec g_\theta:=\frac{\partial\vec r}{\partial\theta} =\begin{pmatrix}x\cot(\theta)\\y\cot(\theta)\\-z\tan(\theta)\end{pmatrix} ,\; \vec g_\psi:=\frac{\partial\vec r}{\partial\psi} =\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix} </math>
worin cot und coth die Kehrwerte des Tangens bzw. Tangens Hyperbolikus sind. Die Basisvektoren sind senkrecht zueinander und bilden in dieser Reihenfolge im gesamten Wertebereich ein Rechtssystem. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:<ref name="Spencer" details="28"/>
- <math>
h:=h_\eta=h_\theta=a\sqrt{\sinh(\eta)^2+\sin(\theta)^2},\, h_\psi=a\sinh(\eta)\sin(\theta) </math>
Das gestreckt sphäroidische Orthonormalsystem ist dementsprechend
- <math>\begin{align}
\hat c_\eta=\frac1h \begin{pmatrix}x\coth(\eta)\\y\coth(\eta)\\z\tanh(\eta)\end{pmatrix} ,\; \hat c_\theta=\frac1h \begin{pmatrix}x\cot(\theta)\\y\cot(\theta)\\-z\tan(\theta)\end{pmatrix} ,\; \hat c_\psi=\begin{pmatrix}-\sin(\psi)\\\cos(\psi)\\0\end{pmatrix} \end{align}</math>
Das Linien-, Flächen- und Volumenelement ergibt sich zu<ref name="Spencer" details="28"/>
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_\eta{\rm d}\eta+\vec g_\theta{\rm d}\theta +\vec g_\psi{\rm d}\psi \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =a^2[\sinh(\eta)^2+\sin(\theta)^2]\,({\rm d}\eta^2+{\rm d}\theta^2) +a^2\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2\,{\rm d}\psi^2 \\ {\rm d}A=& a^2\left\{ [\sinh(\eta)^2+\sin(\theta)^2]\hat c_\psi\,{\rm d}\eta\,{\rm d}\theta +\sqrt{\sinh(\eta)^2+\sin(\theta)^2}\sinh(\eta)\sin(\theta) ( \hat c_\eta\,{\rm d}\theta+\hat c_\theta\,{\rm d}\eta)\,{\rm d}\psi \right\} \\ {\rm d}V=&a^3[\sinh(\eta)^2+\sin(\theta)^2]\sinh(\eta)\sin(\theta) \,{\rm d}\eta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\psi \end{align}</math>
Differentialoperatoren in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.
Der Laplace-Operator ist:<ref name="Spencer" details="29"/>
- <math>\begin{align}
\Delta f=& \frac1{a^2[\sin(\theta)^2+\sinh(\eta)^2]}\left( \frac{\part^2 f}{\part\eta^2} +\coth(\eta)\frac{\part f}{\part\eta} +\frac{\part^2 f}{\part\theta^2} +\cot(\theta)\frac{\part f}{\part\theta} \right)+\dots \\& \dots+\frac1{a^2\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2}\frac{\part^2 f}{\part\psi^2} \end{align}</math>
worin cot und coth die Kehrwerte des Tangens bzw. Tangens Hyperbolikus sind.
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Mit dem Separationsansatz <math>\phi(\eta,\theta,\psi)=H(\eta)\cdot\Theta(\theta)\cdot\Psi(\psi)</math> lautet die Helmholtz-Gleichung <math>\Delta\phi+\kappa^2\phi=0</math>:
- <math>\begin{align}
\frac1{a^2[\sin(\theta)^2+\sinh(\eta)^2]}\left( \frac{\part^2 H}{\part\eta^2}\Theta\Psi +\coth(\eta)\frac{\part H}{\part\eta}\Theta\Psi +H\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}\Psi +\cot(\theta)H\frac{\part\Theta}{\part\theta}\Psi \right)+\dots& \\ \dots+\frac1{a^2\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2} H\Theta\frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}+\kappa^2 H\Theta\Psi&=0 \end{align}</math>
Die drei Faktoren in der separierten Lösungsfunktion bestimmen sich aus den unabhängigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen<ref name="Spencer" details="30"/>
- <math>\begin{align}
\frac{\part^2 H}{\part\eta^2} +\coth(\eta)\frac{\part H}{\part\eta} +\left(\kappa^2a^2\sinh^2\eta-\alpha_2 -\frac{\alpha_3}{\sinh^2\eta}\right)H=&0 \\ \frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2} +\cot(\theta)\frac{\part\Theta}{\part\theta} +\left(\kappa^2a^2\sin^2\theta+\alpha_2 -\frac{\alpha_3}{\sin^2\theta}\right)\Theta=&0 \\ \frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}+\alpha_3\Psi=&0 \end{align}</math>
und den Randbedingungen. Bei der Laplace-Gleichung ist <math>\kappa=0</math>.
Denn Multiplikation der Helmholtz-Gleichung mit <math>\tfrac{a^2\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2}{H\Theta\Psi}</math> liefert:
- <math>\begin{align}
\frac{\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2}{\sin(\theta)^2+\sinh(\eta)^2}\left( \frac{\frac{\part^2 H}{\part\eta^2}}H +\coth(\eta)\frac{\frac{\part H}{\part\eta}}H +\frac{\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}}\Theta +\cot(\theta)\frac{\frac{\part\Theta}{\part\theta}}\Theta \right)+\dots& \\ \dots+\kappa^2a^2\sinh(\eta)^2\sin(\theta)^2 +\frac{\frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}}\Psi&=0 \end{align}</math>
Weil auf der rechten Seite eine Konstante (null) steht und nur der letzte Term auf der linken Seite von ψ abhängt, ist letzterer ebenfalls konstant:
- <math>\frac{\frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}}\Psi=-\alpha_3</math>
Einsetzen dieser Konstanten erlaubt auch η und θ zu trennen:
- <math>\begin{align}
&-\left[\frac{\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}}\Theta +\cot(\theta)\frac{\frac{\part\Theta}{\part\theta}}\Theta +\kappa^2a^2\sin(\theta)^2-\frac{\alpha_3}{\sin(\theta)^2}\right]=\dots \\ &\qquad\qquad\qquad\dots= \frac{\frac{\part^2 H}{\part\eta^2}}H +\coth(\eta)\frac{\frac{\part H}{\part\eta}}H +\kappa^2a^2\sinh(\eta)^2-\frac{\alpha_3}{\sinh(\eta)^2} \end{align}</math>
Weil die linke Seite nur von θ abhängt und die rechte Seite nur von η, sind beide Seiten gleich einer Konstanten α2. So entstehen die oben angegebene Differenzialgleichungen<ref name="Spencer" details="30"/> Ein gleichbedeutendes Ergebnis wird mit dem im Hauptartikel beschriebenen Verfahren und der Stäckel-Matrix
- <math>\mathbf S=\begin{pmatrix}
a^2\sinh(\eta)^2 & -1& \frac{-1}{\sinh(\eta)^2}\\ a^2\sin(\theta)^2& 1& \frac{-1}{\sin(\theta)^2}\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}</math>
erzielt.
Gestreckte Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Die gestreckten Sphäroidkoordinaten der Variante 2 benutzen nicht die Variablen η,θ,ψ der ersten Variante, sondern deren Funktionswerte:<ref name="Morse" details="661"/>
- <math>\xi_1=a\cosh(\eta),\;\xi_2=\cos(\theta),\;\xi_3=\cos(\psi)</math>
Die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> berechnen sich aus den gestreckten Sphäroidkoordinaten <math>\xi_{1,2,3}\in\R,\,\xi_1\ge0, -1\le\xi_{2,3}\le1</math> gemäß:
<math> \vec r:= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \xi_3\sqrt{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)}\\ \sqrt{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)(1-\xi_3^2)}\\ \xi_1\xi_2 \end{pmatrix} </math>
Koordinatenflächen in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
In der Variante 2 ist auf dem Ellipsoid (ξ1=const.,rot)
- <math>\frac{z^2}{\xi_1^2}+\frac{x^2+y^2}{\xi_1^2-a^2}=1</math>
auf dem zweischaligen Rotationshyperboloid (ξ2=const., blau)
- <math>\frac{z^2}{a^2\xi_2^2}-\frac{x^2+y^2}{a^2(1-\xi_2^2)}=1</math>
und in der Halbebene (ξ3=const., gelb)
- <math>\xi_3\sqrt{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}-\frac{x}{y}=0</math>
Hieraus ergibt sich andererseits
- <math>\begin{align}
\xi_1^2=&\frac{x^2+y^2+z^2+a^2+\sqrt{(x^2+y^2+z^2+a^2)^2-4 a^2 z^2}}2 \\ \xi_2^2=& \frac{x^2+y^2+z^2+a^2-\sqrt{(x^2+y^2+z^2+a^2)^2-4 a^2 z^2}}{2a^2} \\ \xi_3^2=&\frac{x^2}{x^2+y^2} \end{align}</math>
Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.
Die kovarianten Basisvektoren sind mit <math>\vec r=(x,y,z)^\top</math>:
- <math>
\vec g_1:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_1} =\begin{pmatrix}\frac{\xi_1x}{\xi_1^2-a^2}\\ \frac{\xi_1y}{\xi_1^2-a^2}\\ \frac{z}{\xi_1}\end{pmatrix} ,\; \vec g_2:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_2} =\begin{pmatrix}-\frac{\xi_2x}{1-\xi_2^2}\\ -\frac{\xi_2y}{1-\xi_2^2}\\ \frac{z}{\xi_2}\end{pmatrix} ,\; \vec g_3:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_3} =\begin{pmatrix}\frac{x}{\xi_3}\\ -\frac{\xi_3y}{1-\xi_3^2}\\ 0\end{pmatrix} </math>
Die Basisvektoren sind senkrecht zueinander und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:
- <math>
h_1=\sqrt{\frac{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}{\xi_1^2-a^2}} ,\; h_2=\sqrt{\frac{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}{1-\xi_2^2}} ,\; h_3=\sqrt{\frac{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)}{1-\xi_3^2}} </math>
Das gestreckt sphäroidische Orthonormalsystem schreibt sich in dieser Formulierung
- <math>\begin{align}
\hat c_1=&\frac1{\sqrt{\xi_1^2-a^2 \xi_2^2}}\begin{pmatrix} \xi_1\xi_3\sqrt{1-\xi_2^2}\\ \xi_1\sqrt{(1-\xi_2^2)(1-\xi_3^2)}\\ \xi_2\sqrt{\xi_1^2-a^2}\end{pmatrix} \\ \hat c_2=&\frac1{\sqrt{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}}\begin{pmatrix} -\xi_2 \xi_3\sqrt{\xi_1^2-a^2}\\ -\xi_2\sqrt{(\xi_1^2-a^2) (1-\xi_3^2)}\\ \xi_1\sqrt{1-\xi_2^2}\end{pmatrix} ,\; \hat c_3=\begin{pmatrix}\sqrt{1-\xi_3^2}\\-\xi_3\\0\end{pmatrix} \end{align}</math>
Das Linien- und Volumenelement ergibt sich zu
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_1{\rm d}\xi_1+\vec g_2{\rm d}\xi_2 +\vec g_3{\rm d}\xi_3 \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =\frac{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}{\xi_1^2-a^2}\,{\rm d}\xi_1^2 +\frac{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}{1-\xi_2^2}\,{\rm d}\xi_2^2 +\frac{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)}{1-\xi_3^2}\,{\rm d}\xi_3^2 \\ {\rm d}V=&\frac{\xi_1^2 - a^2 \xi_2^2}{\sqrt{1 - \xi_3^2}} \,{\rm d}\xi_1\,{\rm d}\xi_2\,{\rm d}\xi_3 \end{align}</math>
Differentialoperatoren in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.
Der Laplace-Operator ist:
- <math>
\Delta f= \frac{(\xi_1^2-a^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_1^2} +2\xi_1\frac{\part f}{\part\xi_1} +(1-\xi_2^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_2^2} -2\xi_2\frac{\part f}{\part\xi_2}}{\xi_1^2-a^2\xi_2^2} +\frac{(1-\xi_3^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part f}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2-a^2) (1-\xi_2^2)} </math>
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in gestreckten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Mit dem Separationsansatz <math>\phi(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=X(\xi_1)\cdot Y(\xi_2)\cdot Z(\xi_3)</math> lautet die Helmholtz-Gleichung <math>\Delta\phi+\kappa^2\phi=0</math>:
- <math>\begin{align}
\frac{(\xi_1^2-a^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_1^2} +2\xi_1\frac{\part\phi}{\part\xi_1} +(1-\xi_2^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_2^2} -2\xi_2\frac{\part\phi}{\part\xi_2}}{\xi_1^2-a^2\xi_2^2} +\frac{(1-\xi_3^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part\phi}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)} +\kappa^2\phi&= \\ \frac{(\xi_1^2-a^2)\frac{\part^2 X}{\part\xi_1^2}YZ +2\xi_1\frac{\part X}{\part\xi_1}YZ +(1-\xi_2^2)X\frac{\part^2 Y}{\part\xi_2^2}Z -2\xi_2X\frac{\part Y}{\part\xi_2}Z}{\xi_1^2-a^2\xi_2^2}+\dots\qquad& \\ \dots+\frac{(1-\xi_3^2)XY\frac{\part^2 Z}{\part\xi_3^2} -\xi_3XY\frac{\part Z}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)} +\kappa^2 XYZ &=0 \end{align}</math>
Die drei Faktoren in der separierten Lösungsfunktion bestimmen sich aus den unabhängigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen
- <math>\begin{align}
2\xi_1\frac{\part X}{\part\xi_1} +(\xi_1^2-a^2)\frac{\part^2X}{\part\xi_1^2} +\left(\kappa^2\xi_1^2-\alpha_2+\frac{\alpha_3 a^2}{\xi_1^2-a^2}\right)X=&0 \\ 2\xi_2\frac{\part Y}{\part\xi_2} -(1-\xi_2^2)\frac{\part^2Y}{\part\xi_2^2} +\left(\kappa^2 a^2\xi_2^2-\alpha_2-\frac{\alpha_3}{1-\xi_2^2}\right)Y=&0 \\ (1-\xi_3^2)\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part Z}{\part\xi_3}-\alpha_3 Z=&0 \end{align}</math>
und den Randbedingungen. Bei der Laplace-Gleichung ist <math>\kappa=0</math>.
Denn Multiplikation der Helmholtz-Gleichung mit <math>\tfrac{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)}{XYZ}</math> liefert:
- <math>\begin{align}
\frac{(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2)}{\xi_1^2-a^2 \xi_2^2}\left[ (\xi_1^2-a^2)\frac{\frac{\part^2X}{\part\xi_1^2}}X +2\xi_1\frac{\frac{\part X}{\part\xi_1}}X +(1-\xi_2^2)\frac{\frac{\part^2Y}{\part\xi_2^2}}Y -2 \xi_2\frac{\frac{\part Y}{\part\xi_2}}Y\right]+\dots& \\ \dots+\left\{(1-\xi_3^2)\frac{\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2}}Z -\xi_3\frac{\frac{\part Z}{\part\xi_3}}Z\right\} +\kappa^2(\xi_1^2-a^2)(1-\xi_2^2) &=0 \end{align}</math>
Weil auf der rechten Seite eine Konstante (null) steht und nur der Term in der geschweiften Klammer von ξ3 abhängt, ist dieser ebenfalls eine Konstante α3:
- <math>(1-\xi_3^2)\frac{\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2}}Z
-\xi_3\frac{\frac{\part Z}{\part\xi_3}}Z=\alpha_3</math>
Einsetzen dieser Konstanten erlaubt auch ξ1 und ξ2 zu trennen:
- <math>\begin{align}
&2\xi_1\frac{\frac{\part X}{\part\xi_1}}X +(\xi_1^2-a^2)\frac{\frac{\part^2 X}{\part\xi_1^2}}X +\kappa^2\xi_1^2+\frac{\alpha_3a^2}{\xi_1^2-a^2} =\dots \\ &\qquad\qquad\qquad\dots= 2\xi_2\frac{\frac{\part Y}{\part\xi_2}}Y -(1-\xi_2^2)\frac{\frac{\part^2 Y}{\part\xi_2^2}}Y +\kappa^2 a^2\xi_2^2-\frac{\alpha_3}{1-\xi_2^2} \end{align}</math>
Weil die linke Seite nur von ξ1 abhängt und die rechte Seite nur von ξ2, sind beide Seiten gleich einer Konstanten α2. Damit resultieren die oben angegebene Differenzialgleichungen. Ein gleichbedeutendes Ergebnis entsteht mit der Stäckel-Matrix<ref name="Morse" details="661"/>
- <math>\mathbf S=\begin{pmatrix}
1 & \frac1{\xi_1^2-a^2} & \frac{a^2}{(\xi_1^2-a^2)^2} \\ a^2 & \frac{-1}{1-\xi_2^2} & \frac1{(1-\xi_2^2)^2} \\ 0 & 0 & \frac{-1}{1-\xi_3^2} \end{pmatrix}</math>
und der im Hauptartikel beschriebenen Methode.
Abgeplattete Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> berechnen sich aus den abgeplatteten Sphäroidkoordinaten im selben Wertebereich wie die gestreckten Sphäroidkoordinaten der Variante 1 <math>\eta,\theta,\psi\in\R^{\ge0},\,\theta\le\pi,\,\psi\le2\pi</math> gemäß:<ref name="Spencer" details="31"/>
<math> \vec r:= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} \cosh(\eta)\sin(\theta)\cos(\psi)\\ \cosh(\eta)\sin(\theta)\sin(\psi)\\ \sinh(\eta)\cos(\theta)\end{pmatrix} </math>
#Gestreckte Sphäroidkoordinaten, Variante 1, benutzen im Vergleich hierzu cosh statt sinh und umgekehrt.
Koordinatenflächen in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
In abgeplatteten Sphäroidkoordinaten<ref name="Spencer" details="31"/> (η,θ,ψ) bestehen die Koordinatenflächen aus einem Ellipsoid (η=const., rot im Bild),
- <math>\frac{x^2+y^2}{(a\cosh\eta)^2}+\frac{z^2}{(a\sinh\eta)^2}=1</math>
einem einschaligen Rotationshyperboloid (θ=const., blau)
- <math>\frac{x^2+y^2}{(a\sin\theta)^2}-\frac{z^2}{(a\cos\theta)^2}=1
</math>
und einer Halbebene (ψ=const., gelb) mit
- <math>y=x\tan\psi</math>
Hieraus ergibt sich andererseits
- <math>\begin{align}
\cosh(\eta)^2=&\frac{x^2+y^2+z^2+a^2 +\sqrt{(x^2+y^2+z^2-a^2)^2+4 a^2 z^2}}{2a^2} \\ \sin(\theta)^2=& \frac{x^2+y^2+z^2+a^2-\sqrt{(x^2+y^2+z^2-a^2)^2+4 a^2 z^2}}{2a^2} \\ \tan(\psi)=&\frac yx \end{align}</math>
Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.
Die kovarianten Basisvektoren sind mit <math>\vec r=(x,y,z)^\top</math>:
- <math>
\vec g_\eta:=\frac{\partial\vec r}{\partial\eta} =\begin{pmatrix}x\tanh(\eta)\\y\tanh(\eta)\\z\coth(\eta)\end{pmatrix} ,\; \vec g_\theta:=\frac{\partial\vec r}{\partial\theta} =\begin{pmatrix}x\cot(\theta)\\y\cot(\theta)\\-z\tan(\theta)\end{pmatrix} ,\; \vec g_\psi:=\frac{\partial\vec r}{\partial\psi} =\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix} </math>
worin cot und coth die Kehrwerte des Tangens bzw. Tangens Hyperbolikus sind. Die Basisvektoren sind senkrecht zueinander und bilden in dieser Reihenfolge im gesamten Wertebereich ein Rechtssystem. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:<ref name="Spencer" details="31"/>
- <math>
h:=h_\eta=h_\theta=a\sqrt{\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2},\, h_\psi=a\cosh(\eta)\sin(\theta) </math>
Das gestreckt sphäroidische Orthonormalsystem ist dementsprechend
- <math>\begin{align}
\hat c_\eta=\frac1h \begin{pmatrix}x\tanh(\eta)\\y\tanh(\eta)\\z\coth(\eta)\end{pmatrix} ,\; \hat c_\theta=\frac1h \begin{pmatrix}x\cot(\theta)\\y\cot(\theta)\\-z\tan(\theta)\end{pmatrix} ,\; \hat c_\psi=\begin{pmatrix}-\sin(\psi)\\\cos(\psi)\\0\end{pmatrix} \end{align}</math>
Das Linien- und Volumenelement ergibt sich zu<ref name="Spencer" details="31"/>
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_\eta{\rm d}\eta+\vec g_\theta{\rm d}\theta +\vec g_\psi{\rm d}\psi \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =a^2[\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2]\,({\rm d}\eta^2+{\rm d}\theta^2) +a^2\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2\,{\rm d}\psi^2 \\ {\rm d}A=& a^2\left\{ [\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2]\hat c_\psi\,{\rm d}\eta\,{\rm d}\theta +\sqrt{\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2}\cosh(\eta)\sin(\theta) ( \hat c_\eta\,{\rm d}\theta+\hat c_\theta\,{\rm d}\eta)\,{\rm d}\psi \right\} \\ {\rm d}V=&a^3[\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2]\cosh(\eta)\sin(\theta) \,{\rm d}\eta\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\psi \end{align}</math>
Differentialoperatoren in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.
Der Laplace-Operator ist:<ref name="Spencer" details="32"/>
- <math>\begin{align}
\Delta f=& \frac1{a^2[\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2]}\left( \frac{\part^2 f}{\part\eta^2} +\tanh(\eta)\frac{\part f}{\part\eta} +\frac{\part^2 f}{\part\theta^2} +\cot(\theta)\frac{\part f}{\part\theta} \right)+\dots \\& \dots+\frac1{a^2\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2} \frac{\part^2 f}{\part\psi^2} \end{align}</math>
worin cot der Kehrwert des Tangens ist.
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 1
In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Mit dem Separationsansatz <math>\phi(\eta,\theta,\psi)=H(\eta)\cdot\Theta(\theta)\cdot\Psi(\psi)</math> lautet die Helmholtz-Gleichung <math>\Delta\phi+\kappa^2\phi=0</math>:
- <math>\begin{align}
\frac1{a^2[\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2]}\left( \frac{\part^2 H}{\part\eta^2}\Theta\Psi +\tanh(\eta)\frac{\part H}{\part\eta}\Theta\Psi +H\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}\Psi +\cot(\theta)H\frac{\part\Theta}{\part\theta}\Psi \right)+\dots& \\ \dots+\frac1{a^2\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2}H\Theta \frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2} +\kappa^2 H\Theta\Psi&=0 \end{align}</math>
Die drei Faktoren in der separierten Lösungsfunktion bestimmen sich aus den unabhängigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen<ref name="Spencer" details="33"/>
- <math>\begin{align}
\frac{\part^2H}{\part\eta^2}+\tanh(\eta)\frac{\part H}{\part\eta} +\left[\kappa^2a^2\cosh(\eta)^2 -\alpha_2+\frac{\alpha_3}{\cosh(\eta)^2}\right]H=&0 \\ \frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2} +\cot(\theta)\frac{\part\Theta}{\part\theta} +\left[-\kappa^2 a^2\sin(\theta)^2+\alpha_2 -\frac{\alpha_3}{\sin(\theta)^2}\right]\Theta=&0 \\ \frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2} +\alpha_3\Psi=&0 \end{align}</math>
und den Randbedingungen. Bei der Laplace-Gleichung ist <math>\kappa=0</math>.
Denn Multiplikation der Helmholtz-Gleichung mit <math>\tfrac{a^2\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2}{H\Theta\Psi}</math> liefert:
- <math>\begin{align}
\frac{\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2}{\cosh(\eta)^2-\sin(\theta)^2} \left(\frac{\frac{\part^2H}{\part\eta^2}}H
+\tanh(\eta) \frac{\frac{\part H}{\part\eta}}H
+\frac{\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}}{\Theta}
+\frac{\frac{\part\Theta}{\part\theta}}{\Theta\tan(\theta)}\right)
+\kappa^2 a^2\cosh(\eta)^2\sin(\theta)^2 +\frac{\frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}}\Psi =0 \end{align}</math>
Weil auf der rechten Seite eine Konstante (null) steht und nur der letzte Term auf der linken Seite von ψ abhängt, ist letzterer ebenfalls konstant:
- <math>\frac{\frac{\part^2\Psi}{\part\psi^2}}\Psi=-\alpha_3</math>
Einsetzen dieser Konstanten erlaubt auch η und θ zu trennen:
- <math>\begin{align}
&\frac{\frac{\part^2H}{\part\eta^2}}H +\tanh(\eta)\frac{\frac{\part H}{\part\eta}}H +\kappa^2 a^2\cosh(\eta)^2+\frac{\alpha_3}{\cosh(\eta)^2} =\dots \\ &\qquad\qquad\qquad\dots= -\left[ \frac{\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}}{\Theta} +\frac{\frac{\part\Theta}{\part\theta}}{\Theta\tan(\theta)} -\kappa^2 a^2\sin(\theta)^2-\frac{\alpha_3}{\sin(\theta)^2} \right] \end{align}</math>
Weil die linke Seite nur von η abhängt und die rechte Seite nur von θ, sind beide Seiten gleich einer Konstanten α2. So entstehen die oben angegebene Differenzialgleichungen<ref name="Spencer" details="30"/> Ein gleichbedeutendes Ergebnis wird mit dem im Hauptartikel beschriebenen Verfahren und der Stäckel-Matrix<ref name="Spencer" details="31"/>
- <math>\mathbf S=\begin{pmatrix}
a^2\cosh(\eta)^2& -1& \frac{1}{\cosh(\eta)^2}\\
-a^2\sin(\theta)^2& 1& \frac{-1}{\sin(\theta)^2}\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}</math>
erzielt.
Abgeplattete Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Die abgeplatteten Sphäroidkoordinaten der Variante 2 benutzen nicht die Variablen η,θ,ψ der ersten Variante, sondern deren Funktionswerte:<ref name="Morse" details="662"/>
- <math>\xi_1=a\sinh(\eta),\;\xi_2=\cos(\theta),\;\xi_3=\cos(\psi)</math>
#Gestreckte Sphäroidkoordinaten, Variante 2, benutzen im Vergleich hierzu cosh statt sinh. Die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> berechnen sich aus den abgeplatteten Sphäroidkoordinaten <math>\xi_{1,2,3}\in\R,\,\xi_1\ge0, -1\le\xi_{2,3}\le1</math> gemäß:
<math> \vec r:= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \xi_3\sqrt{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)}\\ \sqrt{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)(1-\xi_3^2)}\\ \xi_1\xi_2 \end{pmatrix} </math>
Koordinatenflächen in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
In der Variante 2 ist auf dem Ellipsoid (ξ1=const.,rot)
- <math>\frac{x^2+y^2}{\xi_1^2+a^2}+\frac{z^2}{\xi_1^2}=1</math>
auf dem einschaligen Rotationshyperboloid (ξ2=const., blau)
- <math>\frac{x^2+y^2}{a^2(1-\xi_2^2)}-\frac{z^2}{a^2\xi_2^2}=1</math>
und in der Halbebene (ξ3=const., gelb)
- <math>\frac yx=\frac{\sqrt{1-\xi_3^2}}{\xi_3}</math>
Hieraus ergibt sich andererseits
- <math>\begin{align}
\xi_1^2=&\frac{\sqrt{(x^2+y^2+z^2-a^2)^2+4 a^2 z^2}-a^2+x^2+y^2+z^2}2 \\ \xi_2^2=& \frac{\sqrt{(x^2+y^2+z^2-a^2)^2+4 a^2 z^2}+a^2-x^2-y^2-z^2}{2a^2} \\ \xi_3^2=&\frac{x^2}{x^2+y^2} \end{align}</math>
Metrische Faktoren, Weg- und Flächen- und Volumenelemente in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.
Die kovarianten Basisvektoren sind mit <math>\vec r=(x,y,z)^\top</math>:
- <math>
\vec g_1:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_1} =\begin{pmatrix}\frac{\xi_1x}{\xi_1^2+a^2}\\ \frac{\xi_1y}{\xi_1^2+a^2}\\ \frac{z}{\xi_1}\end{pmatrix} ,\; \vec g_2:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_2} =\begin{pmatrix}-\frac{\xi_2x}{1-\xi_2^2}\\ -\frac{\xi_2y}{1-\xi_2^2}\\ \frac{z}{\xi_2}\end{pmatrix} ,\; \vec g_3:=\frac{\partial\vec r}{\partial\xi_3} =\begin{pmatrix}\frac{x}{\xi_3}\\ -\frac{\xi_3y}{1-\xi_3^2}\\ 0\end{pmatrix} </math>
Die Basisvektoren sind senkrecht zueinander und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Die metrischen Faktoren sind die Beträge der kovarianten Basisvektoren und lauten:
- <math>
h_1=\sqrt{\frac{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}{\xi_1^2+a^2}} ,\; h_2=\sqrt{\frac{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}{1-\xi_2^2}} ,\; h_3=\sqrt{\frac{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)}{1-\xi_3^2}} </math>
Das gestreckt sphäroidische Orthonormalsystem schreibt sich in dieser Formulierung
- <math>\begin{align}
\hat c_1=&\frac1{\sqrt{\xi_1^2+a^2 \xi_2^2}}\begin{pmatrix} \xi_1\xi_3\sqrt{1-\xi_2^2}\\ \xi_1\sqrt{(1-\xi_2^2)(1-\xi_3^2)}\\ \xi_2\sqrt{\xi_1^2+a^2}\end{pmatrix} \\ \hat c_2=&\frac1{\sqrt{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}}\begin{pmatrix} -\xi_2 \xi_3\sqrt{\xi_1^2+a^2}\\ -\xi_2\sqrt{(\xi_1^2+a^2) (1-\xi_3^2)}\\ \xi_1\sqrt{1-\xi_2^2}\end{pmatrix} ,\; \hat c_3=\begin{pmatrix}\sqrt{1-\xi_3^2}\\-\xi_3\\0\end{pmatrix} \end{align}</math>
Das Linien- und Volumenelement ergibt sich zu
- <math>\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_1{\rm d}\xi_1+\vec g_2{\rm d}\xi_2 +\vec g_3{\rm d}\xi_3 \\ {\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2 =\frac{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}{\xi_1^2+a^2}\,{\rm d}\xi_1^2 +\frac{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}{1-\xi_2^2}\,{\rm d}\xi_2^2 +\frac{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)}{1-\xi_3^2}\,{\rm d}\xi_3^2 \\ {\rm d}V=&\frac{\xi_1^2+a^2 \xi_2^2}{\sqrt{1-\xi_3^2}} \,{\rm d}\xi_1\,{\rm d}\xi_2\,{\rm d}\xi_3 \end{align}</math>
Differentialoperatoren in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
Wegen der länglichen Ausdrücke für die metrischen Faktoren wird auf die allgemeine Darstellung der Operatoren Gradient, Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes im Hauptartikel verwiesen.
Der Laplace-Operator ist:
- <math>
\Delta f= \frac{(\xi_1^2+a^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_1^2} +2\xi_1\frac{\part f}{\part\xi_1} +(1-\xi_2^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_2^2} -2\xi_2\frac{\part f}{\part\xi_2}}{\xi_1^2+a^2\xi_2^2} +\frac{(1-\xi_3^2)\frac{\part^2 f}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part f}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)} </math>
Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in abgeplatteten Sphäroidkoordinaten, Variante 2
In Ellipsoid-Koordinaten gelingt immer eine Trennung der Variablen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung. Mit dem Separationsansatz <math>\phi(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=X(\xi_1)\cdot Y(\xi_2)\cdot Z(\xi_3)</math> lautet die Helmholtz-Gleichung <math>\Delta\phi+\kappa^2\phi=0</math>:
- <math>\begin{align}
\frac{(\xi_1^2+a^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_1^2} +2\xi_1\frac{\part\phi}{\part\xi_1} +(1-\xi_2^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_2^2} -2\xi_2\frac{\part\phi}{\part\xi_2}}{\xi_1^2+a^2\xi_2^2} +\frac{(1-\xi_3^2)\frac{\part^2\phi}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part\phi}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)} +\kappa^2\phi&= \\ \frac{(\xi_1^2+a^2)\frac{\part^2 X}{\part\xi_1^2}YZ +2\xi_1\frac{\part X}{\part\xi_1}YZ +(1-\xi_2^2)X\frac{\part^2 Y}{\part\xi_2^2}Z -2\xi_2X\frac{\part Y}{\part\xi_2}Z}{\xi_1^2+a^2\xi_2^2}+\dots\qquad& \\ \dots+\frac{(1-\xi_3^2)XY\frac{\part^2 Z}{\part\xi_3^2} -\xi_3XY\frac{\part Z}{\part\xi_3}}{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)} +\kappa^2 XYZ &=0 \end{align}</math>
Die drei Faktoren in der separierten Lösungsfunktion bestimmen sich aus den unabhängigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen
- <math>\begin{align}
2\xi_1\frac{\part X}{\part\xi_1} +(\xi_1^2+a^2)\frac{\part^2X}{\part\xi_1^2} +\left(\kappa^2\xi_1^2-\alpha_2-\frac{\alpha_3 a^2}{\xi_1^2+a^2} \right)X=&0 \\ 2\xi_2\frac{\part Y}{\part\xi_2} -(1-\xi_2^2)\frac{\part^2Y}{\part\xi_2^2} -\left(\kappa^2 a^2\xi_2^2+\alpha_2+\frac{\alpha_3}{1-\xi_2^2}\right)Y=&0 \\ (1-\xi_3^2)\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2} -\xi_3\frac{\part Z}{\part\xi_3}-\alpha_3 Z=&0 \end{align}</math>
und den Randbedingungen. Bei der Laplace-Gleichung ist <math>\kappa=0</math>.
Denn Multiplikation der Helmholtz-Gleichung mit <math>\tfrac{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)}{XYZ}</math> liefert:
- <math>\begin{align}
\frac{(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2)}{\xi_1^2+a^2 \xi_2^2}\left[ (\xi_1^2+a^2)\frac{\frac{\part^2X}{\part\xi_1^2}}X +2\xi_1\frac{\frac{\part X}{\part\xi_1}}X +(1-\xi_2^2)\frac{\frac{\part^2Y}{\part\xi_2^2}}Y -2 \xi_2\frac{\frac{\part Y}{\part\xi_2}}Y\right]+\dots& \\ \dots+\left\{(1-\xi_3^2)\frac{\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2}}Z -\xi_3\frac{\frac{\part Z}{\part\xi_3}}Z\right\} +\kappa^2(\xi_1^2+a^2)(1-\xi_2^2) &=0 \end{align}</math>
Weil auf der rechten Seite eine Konstante (null) steht und nur der Term in der geschweiften Klammer von ξ3 abhängt, ist dieser ebenfalls eine Konstante α3:
- <math>(1-\xi_3^2)\frac{\frac{\part^2Z}{\part\xi_3^2}}Z
-\xi_3\frac{\frac{\part Z}{\part\xi_3}}Z=\alpha_3</math>
Einsetzen dieser Konstanten erlaubt auch ξ1 und ξ2 zu trennen:
- <math>\begin{align}
&2\xi_1\frac{\frac{\part X}{\part\xi_1}}X +(\xi_1^2+a^2)\frac{\frac{\part^2 X}{\part\xi_1^2}}X +\kappa^2\xi_1^2-\frac{\alpha_3a^2}{\xi_1^2+a^2} =\dots \\&\qquad\qquad\qquad \dots= 2\xi_2\frac{\frac{\part Y}{\part\xi_2}}Y -(1-\xi_2^2)\frac{\frac{\part^2 Y}{\part\xi_2^2}}Y -\kappa^2 a^2\xi_2^2-\frac{\alpha_3}{1-\xi_2^2} \end{align}</math>
Weil die linke Seite nur von ξ1 abhängt und die rechte Seite nur von ξ2, sind beide Seiten gleich einer Konstanten α2. Damit resultieren die oben angegebene Differenzialgleichungen. Ein gleichbedeutendes Ergebnis entsteht mit der Stäckel-Matrix<ref name="Morse" details="662"/>
- <math>\mathbf S=\begin{pmatrix}
1 & \frac1{\xi_1^2+a^2} & \frac{-a^2}{(\xi_1^2+a^2)^2} \\ -a^2 & \frac{-1}{1-\xi_2^2} & \frac1{(1-\xi_2^2)^2} \\ 0 & 0 & \frac{-1}{1-\xi_3^2} \end{pmatrix}</math>
und der im Hauptartikel beschriebenen Methode.
Ellipsoid-Koordinaten
Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die Ellipsoid-Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.<ref name="Klein"/><ref name="Spencer" details="41"/><ref name="Morse" details="663"/>
Literatur
- D. D. Sokolov: Elliptic_coordinates. Springer, 5. Juni 2020, abgerufen am 19. April 2024.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Elliptic Cylindrical Coordinates. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
<references> <ref name="Salmon"> George Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Band 1. B. G. Teubner, Leipzig/Berlin 1915, DNB 367816768, S. 422.</ref> <ref name="Klein"> Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie. Springer, 2013, ISBN 3-642-88674-4, S. 19.</ref> <ref name="Spencer"> P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S. 3 ff.</ref> <ref name="Morse"> P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953.</ref> <ref name="Werner"> Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.</ref> <ref name="Schrödinger-Gleichung"> Trotz Trennung der Veränderlichen kann die Schrödinger-Gleichung nur in Spezialfällen analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten. In drei Dimensionen muss die Potentielle Energie eine bestimmte Form aufweisen, damit eine Lösung gelingt. </ref> </references>