Dyadische Elementarzellen

Die Menge der dyadischen Elementarzellen ist eine Partitionierung des p-dimensionalen Raumes.

Definition

Mit

<math>\mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)} := \left\{(x_1,\ldots,x_p) \in \R^p: \frac{k_i}{2^n} \leq x_i < \frac{k_i+1}{2^n} \right\},\; k_i \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}</math>

definiert man einen halboffenen Würfel im <math>\R^p</math>, der die Kantenlänge <math>2^{-n}</math> hat.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathcal{D}_n</math> bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung <math>n</math>:

<math>\mathcal{D}_n := \left\{\mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)}: k_i \in \mathbb{Z} \right\}, \; n \in \mathbb{N}\;.</math>

Elementarzellen selber Ordnung sind also disjunkt und voneinander durch ein Gitter getrennt.

Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im <math>\R^p</math> wird dann mit <math>\mathcal{D}</math> bezeichnet:

<math>\mathcal{D} := \left\{ \mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)}: k_i \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N} \right\}\;.</math>

Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen <math>\left\{(\tfrac{k_1}{2^n},\ldots,\tfrac{k_p}{2^n}): k_i \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\}</math> wird das dyadische Gitter genannt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Bedeutung

Die Menge <math>\mathcal{D}</math> der dyadischen Elementarzellen ist ein Halbring und erzeugt die Borelsche σ-Algebra <math>\mathcal{B}</math> des <math>\R^p</math>. Da <math>\mathcal{D}</math> abzählbar ist, ist <math>\mathcal{B}</math> eine separable σ-Algebra.

Beispiele

<math>p=1</math>: Elementarzellen sind halboffene Intervalle.
<math>p=2</math>: Elementarzellen sind Quadrate.
<math>p=3</math>: Elementarzellen sind Würfel.

Einzelnachweise