Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft, benannt nach den US-amerikanischen Mathematikern N. Dunford und B. J. Pettis, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum <math>X</math> hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum <math>Y</math> jeder schwach-kompakte lineare Operator <math>X\rightarrow Y</math> bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, <math>X</math> habe oder sei DPP.

Beispiele

Die Folgenräume <math>c_0</math>, <math>\ell^1</math> und <math>\ell^\infty</math> haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume <math>\ell^p, 1<p<\infty</math> hingegen nicht.
Ist <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> ein endlicher Maßraum, so hat L¹<math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
Ist <math>K</math> ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum <math>C(K)</math> der stetigen Funktionen <math>K\to \Complex</math> die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum <math>X</math> sind folgende Aussagen äquivalent:

<math>X</math> hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
Ist <math>(x_n)_n</math> eine Folge in <math>X</math> mit schwachem Grenzwert <math>x</math> und <math>(f_n)_n</math> eine Folge im Dualraum <math>X'</math> mit schwachem Grenzwert <math>f</math>, so gilt <math>f_n(x_n)\to f(x)</math> für <math>n\to\infty</math>.
Ist <math>(x_n)_n</math> eine Folge in <math>X</math> mit schwachem Grenzwert <math>0</math> und <math>(f_n)_n</math> eine Folge im Dualraum <math>X'</math> mit schwachem Grenzwert <math>0</math>, so gilt <math>f_n(x_n) \to 0</math> für <math>n\to\infty</math>.

Eigenschaften

Hat der Dualraum <math>X'</math> des Banachraums <math>X</math> die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch <math>X</math>.

Da <math>\ell^\infty</math> als kommutative C*-Algebra von der Form <math>C(K)</math> ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum <math>K</math> (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat <math>\ell^\infty</math> nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da <math>(c_0)' \cong \ell^1</math> und <math>(\ell^1)' \cong \ell^\infty</math> (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch <math>c_0</math> und <math>\ell^1</math> die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat <math>\ell^1</math> die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität <math>\mathrm{id}_{\ell^1}</math> ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. <math>\mathrm{id}_{\ell^1}</math> ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und <math>\ell^1</math> wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen

Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.
Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.