Zehneck

Dekagramm {10/3, 10/7}

Regelmäßiges (konvexes) Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck oder Dekagon (von Vorlage:GrcS und {{#invoke:Vorlage:lang|flat}})<ref>Vorlage:Pape-1880-1914</ref> ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken.

Im Weiteren wird das regelmäßige Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis. Die auf diesem Wege gegebene geometrische Figur besteht also aus zehn kongruenten goldenen Dreiecken erster Art.

Der diesem Zehneck einbeschriebene, einzig mögliche Stern (grün) mit dem Schläfli-Symbol {10/3, 10/7} heißt Dekagramm.

Formeln

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Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zehneck
Seitenlänge	<math> \begin{align} a &= 2\cdot r_u\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right)\\ & =r_u\cdot\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2} \right) \end{align}</math>	Größen des Zehnecks
Länge der Diagonalen	<math> d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot a \approx 1{,}902 \cdot a </math>
	<math> d_3 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot a \approx 2{,}618 \cdot a </math>
	<math> d_4 = 2 \cdot r_i = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} \cdot a \approx 3{,}078 \cdot a </math>
	<math> d = 2 \cdot r_u = (1 + \sqrt{5}) \cdot a \approx 3{,}236 \cdot a </math>
Inkreisradius	<math> r_i = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a \approx 1{,}539 \cdot a</math>
Umkreisradius	<math> r_u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \cdot a \approx 1{,}618 \cdot a</math>
Zentriwinkel	<math> \alpha = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ </math>
Innenwinkel	<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 144^\circ </math>
Flächeninhalt	<math> A = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 7{,}694 \cdot a^2 </math>

Berechnung des Flächeninhalts

Der Flächeninhalt <math>A</math> eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge <math>a</math> berechnet sich wie folgt:

<math>A = \frac{10 \cdot a^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot a^2 \approx 7{,}694 \cdot a^2</math>

Konstruktion eines Zehnecks

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis

Datei:01-Zehneck.svg

Regelmäßiges Zehneck nach Euklid,
Vorlage:Overline ist gleich der Seitenlänge a

Konstruktion nach Euklid

Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke Vorlage:Overline bestimmt ist.<ref name="GoldenerSchnitt" /> In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die Eckpunkte E₃ und E₈.
Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite Vorlage:Overline auf den Umkreis, es ergibt sich der erste Eckpunkt E₁ des entstehenden Zehnecks.
Halbiere den Winkel E₁ME₃ (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E₂ und somit die erste Seite Vorlage:Overline des Zehnecks.
Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke Vorlage:Overline auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (1)

Vorüberlegung
Der Mittelpunkt M des Umkreises teilt die Strecke Vorlage:Overline im Goldenen Schnitt. Darin ist der sogenannte Minor die Strecke Vorlage:Overline, für diese gilt:

<math>\overline{MG}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}.</math>

Für die Seitenlänge a des Zehnecks gilt:

<math>a=2\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right),</math>

wegen

<math>a-\overline{MG}=2\cdot\sin\left(\frac{180^\circ}{10} \right)-\left( \frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right)=0, </math>

gilt auch

<math>a=\overline{MG}.</math>

Konstruktion

Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke Vorlage:Overline bestimmt ist. Die Länge der Strecke Vorlage:Overline entspricht der gesuchten Seitenlänge a des Zehnecks.
Trage ab dem Punkt E₃ die Seitenlänge a neunmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (2)

Konstruiere die fünf Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (Zentriwinkel <math display="inline">\frac{360^\circ}{5}</math> = 72°), entsprechend der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis.
Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises bis auf die Umkreislinie. Somit sind alle zehn Eckpunkte bestimmt.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge

Datei:01-Zehneck-Seitenlänge.svg

preview=1 }}</ref> Animation siehe

Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge a mit E₁ und E₁₀
Zeichne einen Kreisbogen um E₁ mit dem Radius Vorlage:Overline durch E₁₀.
Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge a ab E₁ bis sie den Kreisbogen um E₁ in A schneidet.
Zeichne einen Kreisbogen um E₁₀ mit dem Radius Vorlage:Overline durch E₁, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C.
Zeichne eine gerade Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte), sie schneidet die Seitenlänge a in D.
Verlängere die Seitenlänge a ab E₁.
Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius Vorlage:Overline bis er die Verlängerung der Seitenlänge a in F schneidet.
Zeichne einen Kreisbogen um E₁₀ mit dem Radius Vorlage:Overline, er schneidet die Mittelsenkrechte von Vorlage:Overline im Mittelpunkt M des Umkreises vom gesuchten Zehneck.
Zeichne den Umkreis des entstehenden Zehnecks um M mit dem Radius R = Vorlage:Overline.
Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Seitenlänge a auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der Mittelpunktswinkel <math>\mu</math> mit der Winkelweite <math>\tfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ</math> ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks <math>{E_{10}DM}</math> mit den Seiten <math>\tfrac{a}{2} = \tfrac{1}{2}</math> und <math> R = \overline{E_{10}F} = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> (siehe nächsten Abschnitt Der Goldene Schnitt im Zehneck) nach dem Satz des Pythagoras:

<math>\sin\left(\frac{\mu}{2}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{R} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{5}},</math>

daraus folgt

<math>\mu = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{1}{1+\sqrt{5}}\right) = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ.</math>

Der Goldene Schnitt im Zehneck

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis<ref name="GoldenerSchnitt" /> als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der Goldene Schnitt mittels äußerer Teilung der maßgebende Baustein.

In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis verlängert der Kreisbogen mit dem Radius |FE₃| um den Punkt F den Umkreisradius Vorlage:Overline um die Strecke Vorlage:Overline. Die somit erzeugte Strecke Vorlage:Overline teilt der Mittelpunkt M im Goldenen Schnitt.

<math>\frac{\overline{AM}}{\overline{MG}} = \frac{\overline{AG}}{\overline{AM}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1{,}618 \text{.}</math>

In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge<ref name="Jürgen_Köller" /> bewirkt der Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |DA| eine Verlängerung der gegebenen Seitenlänge Vorlage:Overline um die Strecke Vorlage:Overline, damit ist die Strecke Vorlage:Overline die längere Strecke des Verhältnisses (siehe hierzu die Definition des Goldenen Schnittes).

<math>\frac{\overline{E_1E_{10}}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_{10} F}}{\overline{E_1 E_{10}}} = \frac{R}{a} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} =\Phi \approx 1{,}618 \text{.}</math>

Parkettierung eines Zehnecks mit goldenen Dreiecken

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art (spitzwinklig) und Goldenen Dreiecken zweiter Art (stumpfwinklig).

Parkettierungen Zehneck.svg

Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.<ref>Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik. Springer-Verlag, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176–177</ref>

Polyeder mit regelmäßigen Zehnecken

Einige Polyeder haben regelmäßige Zehnecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Dodekaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

Vorkommen

Architektur

Datei:Modell wormser Johanneskirche IMG 3.JPG

Modell der Johanneskirche in Worms

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Das Dekagon der Kirche St. Gereon in Köln, errichtet 1219–1927, hat hingegen zwei unterschiedliche Kantenlängen (die eine achtmal, die andere zweimal) und zwei unterschiedliche Winkel (den einen viermal, den anderen sechsmal), weil es auf einen ovalen antiken Unterbau gestellt wurde. Bekannte als Zehneck erkennbare Bauwerke sind unter anderem:

Weblinks

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Definition und Eigenschaften eines Zehnecks. mathopenref.com; Mit interaktiver Animation (englisch).

Einzelnachweise

<references> <ref name="GoldenerSchnitt"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>