Weierstraßscher Produktsatz

Der weierstraßsche Produktsatz für <math>\mathbb{C}</math> besagt, dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in <math>\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert. Die Funktion kann als sogenanntes Weierstraß-Produkt explizit konstruiert werden. Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstraß gefunden.

Motivation

Zu endlich vielen Nullstellen <math>a_1, \dots a_n \; \in \mathbb{C}</math> kann man sofort ein Polynom hinschreiben, welches das gestellte Problem löst, beispielsweise <math>\left(1 - \frac{z}{a_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{z}{a_n} \right)</math>. Im Falle (abzählbar) unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ausgehend von der Identität <math>1 - z = \exp(\log(1 - z)) = \exp\left(- \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}\right), \quad z \in \mathbb{C}, |z| < 1,</math> führte Weierstraß deshalb "konvergenzerzeugende" Faktoren ein, indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren <math>E_n(z) := (1-z) \exp\left(\sum_{k=1}^n \frac{z^k}{k}\right)</math> definierte. <math>E_n</math> hat nur eine Nullstelle bei <math>1</math>, kann aber im Gegensatz zu <math>1 - z</math> auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an <math>1</math> liegen, sofern <math>n</math> groß genug gewählt wird. Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden.

Weierstraß-Produkt

Es sei <math>D</math> ein positiver Divisor im Bereich <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>a_k</math> eine so gewählte Folge, dass <math>D = D(0) \cdot 0 + \sum_k a_k</math>. Das heißt, die Folge durchläuft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Trägers von <math>D</math> mit der nötigen Multiplizität. Sie heißt die zum Divisor <math>D</math> gehörende Folge. Ein Produkt <math>z^{D(0)} \prod_{k \geq 1} f_k(z)</math> heißt Weierstrass-Produkt zum Divisor <math>D</math>, falls gilt:

<math>f_k</math> holomorph in <math>\Omega</math>
<math>f_k</math> hat genau eine Nullstelle, und zwar in <math>a_k</math> und von der Multiplizität <math>1</math>
Das Produkt <math>\textstyle \prod_k f_k</math> konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von <math>\Omega</math>.

Produktsatz in ℂ

Zu jedem positiven Divisor <math>D</math> in <math>\mathbb{C}</math> existieren Weierstrass-Produkte der Form <math>z^{D(0)} \prod_{k \geq 1} E_{k-1}\left(\frac{z}{a_k}\right)</math>. Dabei sei <math>a_k</math> die zum Divisor <math>D</math> gehörende Folge.

Folgerungen in ℂ

Zu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null- und Polstellen. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
Zu jeder meromorphen Funktion <math>h</math> gibt es zwei holomorphe Funktionen <math>f, g</math> ohne gemeinsame Nullstellen derart, dass <math>h = f/g</math>. Insbesondere ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Integritätsrings der holomorphen Funktionen.
Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht-leere Teilmenge einen größten gemeinsamen Teiler, obwohl der Ring nicht faktoriell ist.

Verallgemeinerung für beliebige Bereiche

Es sei <math>\Omega \subseteq \mathbb{C}</math> ein Bereich und <math>D</math> ein positiver Divisor auf <math>\Omega</math> mit Träger <math>T</math> und es bezeichne <math>T' := \overline{T}\!\setminus\!T</math> die Menge aller Häufungspunkte von <math>T</math> in <math>\mathbb{C}</math>. Dann existieren zum Divisor <math>D</math> Weierstraß-Produkte in <math>\mathbb{C}\!\setminus\!T'</math>. Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem größeren Bereich als <math>\Omega</math>.

Verallgemeinerung für Steinsche Mannigfaltigkeiten {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}

Eine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes für andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin, der den Satz für Zylindergebiete im <math>\mathbb{C}^n</math> bewies. Aus diesem Grund wird die Frage, ob zu einem vorgegebenen Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann, auch als Cousin-Problem bezeichnet.

Jean-Pierre Serre löste 1953 das Cousin-Problem endgültig und zeigte: In einer Steinschen Mannigfaltigkeit <math>X</math> ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion, wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in <math>H^2(X, \mathbb{Z})</math> verschwindet. Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit <math>H^2(X, \mathbb{Z}) = 0</math> jeder Divisor ein Hauptdivisor. Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus, dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist, wobei <math>\mathcal{D}</math> die Garbe der Divisoren bezeichnet:

<math>0 \to \mathcal{O}^*(X) \to \mathcal{M}^*(X) \to \mathcal{D}(X) \rightarrow H^2(X, \mathbb{Z}) \to 0</math>

Literatur

Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.
Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.