Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei <math>X</math> ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen <math>f \colon X \to \mathbb{C}</math> und eine beliebige Teilmenge <math>A</math> von <math>X</math> sei

<math>\Vert f \Vert_A := \sup_{x \in A} \left|f(x)\right|</math>

die Supremumsnorm. Eine Reihe <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n</math> von Funktionen <math>f_n \colon X \to \mathbb{C}</math> heißt normal konvergent, wenn es zu jedem <math>x \in X</math> eine Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> gibt, sodass gilt:

<math>\sum_{n=0}^\infty \Vert f_n \Vert_U < \infty</math>

Beispiel

Betrachte die Funktionenfolge <math>f_n(x):=x^n</math> auf dem kompakten Intervall <math>I:=[-q,q]</math> mit <math>0<q<1</math>. Dann ist <math>\Vert f_n \Vert_I =q^n</math> und die Reihe

<math>\sum_{n=0}^\infty \Vert f_n \Vert_I =\sum_{n=0}^\infty q^n </math>

konvergiert (als geometrische Reihe wegen <math>|q|<1</math>). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion <math>\textstyle x \mapsto \frac{1}{1-x}</math> ist stetig auf <math>I</math>.

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in <math>X</math> normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt <math>x_0 \in X</math> gibt es eine Umgebung <math>U(x_0)</math>, in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

• Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
• Sind alle <math>f_n</math> stetig, so ist auch die Grenzfunktion <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n</math> stetig, wenn <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty f_n</math> normal konvergiert.
• Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

Literatur

• R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.