Chern-Simons-Form

{{#if: behandelt Chern-Simons-Formen in beliebigen Dimensionen, für den 3-dimensionalen Fall siehe Chern-Simons-Funktional.

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}} Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

<math>A\in \Omega^1(P(M),\mathfrak{gl}(n))</math>

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel <math>P(M)</math>.

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

<math>\operatorname{Tr} [ \mathbf{A} ]</math>,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

<math>\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F}\wedge\mathbf{A}-\frac{1}{3}\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\right].</math>

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

<math>\operatorname{Tr} \left[ \mathbf{F}\wedge\mathbf{F}\wedge\mathbf{A}-\frac{1}{2}\mathbf{F}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} +\frac{1}{10}\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}\wedge\mathbf{A} \right]</math>

wobei die Krümmung <math>\mathbf{F}</math> definiert ist durch

<math>\mathbf{F} = d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}.</math>

Die allgemeine Chern-Simons-Form <math>\omega_{2k-1}</math> ist definiert, so dass

<math>d\omega_{2k-1}=\operatorname{Tr} \left( \mathbf{F}^{k} \right),</math>

wobei <math>\mathbf{F}^k</math> durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls <math>M</math> eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt <math>s:M\rightarrow P(M)</math> und das Integral von <math>s^*\omega_{2k-1}</math> über die Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

<math>\operatorname{cs}(M)\in \mathbb R/\mathbb Z</math>.

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> und <math>f\in I^k(\mathfrak g)</math> ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom <math>f</math> entspricht eine Chern-Simons-Form von <math>G</math>-Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei <math>\pi:P\rightarrow M</math> ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe <math>G</math>. Man wähle eine Zusammenhangsform <math>\omega\in \Omega^1(P,\mathfrak g)</math> und bezeichne mit <math>\Omega\in\Omega^2(P,\mathfrak g)</math> ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form <math>Tf\in\Omega^{2k-1}(P,\R)</math> definiert durch

<math>Tf=\sum_{i=0}^{k-1}A_if\left(\omega\wedge [\omega,\omega]^i\wedge\Omega^{k-i-1}\right)</math>

mit <math>A_i:=(-1)^i\frac{k!(k-1)!}{2^i(k+i)!(k-1-i)!}</math>.

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu <math>(-1)^{k-1}\frac{k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}f\left(\omega\wedge[\omega,\omega]^{k-1}\right)</math>.

Es gilt die Gleichung

<math>dTf=f(\Omega, \ldots ,\Omega) </math>,

im Fall flacher Bündel also <math>dTf=0</math>.

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse <math> u\in H^*(BG,\mathbb Z)</math> einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls <math>f(\Omega,\ldots,\Omega)=0</math>, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse <math>u_f</math> in reeller Kohomologie. Die Form <math>Tf</math> ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von <math>P</math>. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von <math>M</math>, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in <math>H^*(M,\mathbb R/\mathbb Z)</math> passt in die Bockstein-Folge

<math>H^{2k-1}(M,\mathbb R/\mathbb Z)\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb Z)\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb R)</math>,

wo sie auf die charakteristische Klasse <math>u_f</math> abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch

Quellen

Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.