Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes <math>y</math> nach <math>m + n</math> Schritten, beginnend im Zustand <math>x</math>, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation <math>z</math> dar. Formal bedeutet dies:<ref>Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.</ref>

Sei <math>(X_{k})_{k\in \N_0}</math> eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix <math>\Pi</math> und Zustandsraum <math>\Epsilon</math>.

Dann gilt für alle <math>x,y \in \Epsilon</math>

<math>P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) = \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x)</math>.

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix <math>\Pi = (\Pi(x,y))_{x,y \in \Epsilon}</math> ergibt sich

<math>

\begin{align} P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) & {\overset{(*)}{=}} \Pi^{n+m}(x,y) \\ &{=} \sum_{z\in\Epsilon} \Pi^m(x,z) \Pi^n(z,y) \\ &{\overset{(*)}{=}} \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x)\,, \end{align} </math>

wobei bei <math>(\ast)</math> ausgenutzt wurde, dass <math>P(X_{m+n}=y \mid X_n=x) = \Pi^{m}(x,y)\,</math> für alle <math>m,n\in\N_0,x,y\in\mathrm{E}\,</math> mit <math>P(X_n=x)>0\,</math> gilt.

Markow-Prozesse

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe <math>(K(t))_{t\geq 0}</math> von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als<ref>Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.</ref>

<math>\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad K(s+t) = K(s)K(t)\,,</math>

wobei <math>K(s)K(t)</math> die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

<math>\forall\, n \in\N,t_1,\ldots, t_n\in\R_{\geq0}\quad K\left(\sum_{i=1}^n t_i\right) = \prod_{i=1}^n K(t_i)\,.</math>

Einzelnachweise