Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen <math>P^t</math> (mit Zeitparameter <math>t\ge 0</math>) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall <math>[0,s+t]</math> lässt sich zerlegen in die Veränderung während <math>[0,s]</math> und die Veränderung während <math>[s,s+t].</math> (<math>\circ</math> bezeichne die Hintereinanderausführung.)

<math>\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^{[0,s]} \circ P^{[s,s+t]} = P^{[0,s+t]}</math>.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung <math>P^{[s,s+t]}</math> unabhängig von <math>s</math> und hängt nur von der Länge <math>t</math> des Intervalls ab. In der Schreibweise <math>P^t := P^{[0,t]}(=P^{[s,s+t]})</math> hat <math>(P_t)</math> folgende Eigenschaft:

<math>\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^t \circ P^s = P^{s+t}</math>.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit <math>s</math> beschreibenden Abbildungen <math>P^s</math> ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, <math>P</math> ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe <math>([0,\infty),+)</math> und der Halbgruppe <math>((P^s)_{s \ge 0}, \circ)</math> (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.

Mathematische Definition (in stetiger Zeit)

Sei <math>(M_t)_{t \ge 0}</math> ein zeitlich homogener Markow-Prozess in stetiger Zeit auf einem Zustandsraum <math>(E,\mathcal{E})</math>. Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei <math>(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})</math> und <math>\mathbb{E}</math> bezeichne den Erwartungswert bzgl. <math>\mathbb{P}</math>.

Für alle <math>x\in E</math> sei <math>\mathbb{P}_x(\cdot):=\mathbb{P}(\cdot \mid M_0=x)</math> und entsprechend <math>\mathbb{E}_x(\cdot):=\mathbb{E}(\cdot\mid M_0=x)</math> definiert.

Seien <math>(P^t)_{t\in\R_{\geq0}}</math> die Übergangskerne. Dann gilt

<math>\forall\, t\in\R_{\geq0} \ \forall\, x\in E \ \forall\, A\in\mathcal{E}: \quad P^t(x,A) = \mathbb{P}_x(M_t\in A)</math>

Mit der Markov-Eigenschaft gilt dann die nun folgende Chapman-Kolmogorow-Gleichung

<math>\forall\, s,t\in\R_{\geq0} \ \forall\, x\in E \ \forall\, A\in\mathcal{E}: \quad P^{t+s}(x,A)

= \mathbb{E}_x\mathbb{P}\left( M_{s+t}\in A \mid \mathcal{F}_s \right) = \mathbb{E}_x P^t(M_s,A) = \int P^t(y,A) P^s(x,dy)\,,</math><ref>Asmussen, Seite 33</ref>

die man in Operator-Notation kurz zusammenfasst als

<math>\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad P^{t+s} = P^t P^s.</math>

Die <math>(P^t)_{t\in\R_{\geq0}}</math> bilden somit eine Halbgruppe, die als Übergangshalbgruppe bezeichnet wird. Über die topologischen Eigenschaften von <math>(P^t)_{t\ge0}</math> ist damit noch nichts gesagt, deswegen werden meist zusätzliche Forderungen an den Markow-Prozess gemacht, so dass <math>(P^t)_{t\geq0}</math> in gewisser Hinsicht stetig ist – zum Beispiel im Falle der Feller-Prozesse, wobei <math>(P^t)_{t\ge0}</math> eine stark stetige Halbgruppe auf <math>C_0</math> darstellt.

Quellen

Sören Asmussen: Applied Probability and Queues. 2. Auflage, Springer-Verlag, New-York 2003, ISBN 0387002111

Fußnoten