Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen <math>2^3 = 8</math> und <math>3^2 = 9</math> keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt; m. a. W.:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung <math>x^p - y^q = 1</math> mit <math>x,p,y,q > 1</math> lautet <math>x=3</math>, <math>p=2</math>, <math>y=2</math> und <math>q=3</math>.

Erst Anfang der 2000er Jahre, also nach über 150 Jahren, wurde von Preda Mihăilescu bewiesen, dass diese Vermutung richtig ist.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:

Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für <math>a^2 - b^3 = 1</math> nur die Lösung <math>a=3</math> und <math>b=2</math> gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.<ref name="CATALAN">Eugène Charles Catalan: Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur par Mr. E. Catalan, Répétiteur à l’école polytechnique de Paris. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844 (Scan des Originals online, abgerufen am 16. April 2019).</ref>

Später fand man einige Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman, demzufolge höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen der catalanschen Gleichung existieren können.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder <math>p</math> und <math>q</math> erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder <math>p</math> und <math>q</math> sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

<math>p^{q-1} \equiv 1 \ {\rm mod} \ q^2</math> und <math> q^{p-1} \equiv 1 \ {\rm mod} \ p^2</math>

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen <math>q</math> und <math>p</math> an:

<math>q < 7{,}15 \cdot 10^{11},\ p < 7{,}78 \cdot 10^{16}</math>

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung

<math>x^p-y^q = n</math>  mit natürlichen <math>x, y > 0,\; p, q, n > 1</math>

betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für jede gegebene natürliche Zahl <math>n \in \mathbb N^+</math> nur endlich viele Lösungen mit <math>x, y > 0,\; p, q > 1</math> hat, das heißt, dass es nur endlich viele Paare ganzzahliger Potenzen gibt, deren Differenz jeweils <math>n</math> ist.

Die folgende Liste gibt bis <math>n \leq 115</math> alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei <math>x^p, y^q < 2^{64} \approx 1Vorlage:,84 \cdot 10^{19}</math> ist. Der größte dabei auftretende Wert für <math>y^q</math> ist <math>542\,939\,080\,312\; (\approx 5{,}43 \cdot 10^{11})</math> in <math>736844^2 - 8158^3 = 24</math>, im Bereich von <math>5{,}43 \cdot 10^{11}</math> bis <math>2^{64} - 1 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19}</math> sind für <math>n \le 206</math> keine weiteren Lösungen zu finden.

Hinweis zur Anzahl der Lösungen

Angegeben ist die Anzahl der Lösungen <math>x^p, y^q</math>, d. h. der Werte der Potenzen. Wenn <math>p</math> und/oder <math>q</math> keine Primzahlen sind, sind für die Werte <math>x^p, y^q</math> verschiedene Potenz-Zerlegungen möglich, z. B. für <math>n = 17</math>:

• Die fünf Lösungen <math>5^2-2^3 = 17,\; 7^2-2^5 = 17,\; 282^2-43^3 = 17,\; 375^2-52^3 = 17,\; 378661^2-5234^3 = 17</math> haben Primfaktoren als Exponenten, damit sind das fünf Einfachlösungen.
• Die Lösung <math>23^2-2^9 = 17</math> hat <math>q = 3 \cdot 3</math> als Exponenten, das erlaubt <math>\sigma_0(q) - 1 = 2</math> verschiedene Darstellungen für <math>512 = 2^9 = 8^3</math>. Daher ist dies eine Doppellösung, bezogen auf die Werte von <math>x, y, p, q</math>.
• Die Lösung <math>3^4-2^6 = 17</math> hat <math>p = 2 \cdot 2</math> und <math>q = 2 \cdot 3</math> als Exponenten, das erlaubt <math>\sigma_0(p) - 1 = 2</math> verschiedene Darstellungen für <math>81 = 3^4 = 9^2</math> und <math>\sigma_0(q) - 1 = 3</math> verschiedene Darstellungen für <math>64 = 2^6 = 4^3 = 8^2</math>. Daher ist dies eine Sechsfachlösung, bezogen auf die Werte von <math>x, y, p, q</math>.
• Insgesamt sind dies dann fünf Einfachlösungen, eine Doppellösung und eine Sechsfachlösung, insgesamt zwölf Lösungen bezogen auf die Werte von <math>x, y, p, q</math>:

<math>(5,2,2,3),\ (7,2,2,5),\ (282,43,2,3),\ (375,52,2,3),\ (378661,5234,2,2)</math>, <math>(23,2,2,9),\ (32,8,2,3)</math> und <math>(3,2,4,6),\ (3,4,4,3),\ (3,8,4,2),\ (9,2,2,6),\ (9,4,2,3),\ (9,8,2,2)</math>

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
1	1	<math>3^2-2^3=1</math>	<math>8</math>
2	1	<math>3^3-5^2=2</math>	<math>25</math>
3	2	<math>2^2-1^q=3</math> <math>2^7-5^3=3</math>	<math>1</math> <math>125</math>
4	3	<math>2^3-2^2=4</math> <math>6^2-2^5=4</math> <math>5^3-11^2=4</math>	<math>4</math> <math>32</math> <math>121</math>
5	2	<math>3^2-2^2=5</math> <math>2^5-3^3=5</math>	<math>4</math> <math>27</math>
6	Es existiert keine Lösung.
7	5	<math>2^3-1^q=7</math> <math>2^4-3^2=7</math> <math>2^5-5^2=7</math> <math>2^7-11^2=7</math> <math>2^{15}-181^2=7</math>	<math>1</math> <math>9</math> <math>25</math> <math>121</math> <math>32761</math>
8	3	<math>3^2-1^q=8</math> <math>2^4-2^3=8</math> <math>312^2-46^3=8</math>	<math>1</math> <math>8</math> <math>97336</math>
9	4	<math>5^2-2^4=9</math> <math>6^2-3^3=9</math> <math>15^2-6^3=9</math> <math>253^2-40^3=9</math>	<math>16</math> <math>27</math> <math>216</math> <math>64000</math>
10	1	<math>13^3-3^7=10</math>	<math>2187</math>
11	4	<math>3^3-2^4=11</math> <math>6^2-5^2=11</math> <math>56^2-5^5=11</math> <math>15^3-58^2=11</math>	<math>16</math> <math>25</math> <math>3125</math> <math>3364</math>
12	2	<math>2^4-2^2=12</math> <math>47^2-13^3=12</math>	<math>4</math> <math>2197</math>
13	3	<math>7^2-6^2=13</math> <math>2^8-3^5=13</math> <math>17^3-70^2=13</math>	<math>36</math> <math>243</math> <math>4900</math>
14	Es existiert keine Lösung.
15	3	<math>2^4-1^q=15</math> <math>2^6-7^2=15</math> <math>1138^2-109^3=15</math>	<math>1</math> <math>49</math> <math>1295029</math>
16	3	<math>5^2-3^2=16</math> <math>2^5-2^4=16</math> <math>12^2-2^7=16</math>	<math>9</math> <math>16</math> <math>128</math>
17	7	<math>5^2-2^3=17</math> <math>7^2-2^5=17</math> <math>3^4-2^6=17</math> <math>23^2-2^9=17</math> <math>282^2-43^3=17</math> <math>375^2-52^3=17</math> <math>378661^2-5234^3=17</math>	<math>8</math> <math>32</math> <math>64</math> <math>512</math> <math>79507</math> <math>140608</math> <math>143384152904</math>
18	3	<math>3^3-3^2=18</math> <math>3^5-15^2=18</math> <math>19^2-7^3=18</math>	<math>9</math> <math>225</math> <math>343</math>
19	5	<math>3^3-2^3=19</math> <math>10^2-3^4=19</math> <math>12^2-5^3=19</math> <math>7^3-18^2=19</math> <math>55^5-22434^2=19</math>	<math>8</math> <math>81</math> <math>125</math> <math>324</math> <math>503284356</math>
20	2	<math>6^2-2^4=20</math> <math>6^3-14^2=20</math>	<math>16</math> <math>196</math>

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
21	2	<math>5^2-2^2=21</math> <math>11^2-10^2=21</math>	<math>4</math> <math>100</math>
22	2	<math>7^2-3^3=22</math> <math>47^2-3^7=22</math>	<math>27</math> <math>2187</math>
23	4	<math>3^3-2^2=23</math> <math>2^5-3^2=23</math> <math>12^2-11^2=23</math> <math>2^{11}-45^2=23</math>	<math>4</math> <math>9</math> <math>121</math> <math>2025</math>
24	5	<math>5^2-1^q=24</math> <math>2^5-2^3=24</math> <math>7^2-5^2=24</math> <math>2^{10}-10^3=24</math> <math>736844^2-8158^3=24</math>	<math>1</math> <math>8</math> <math>25</math> <math>1000</math> <math>542939080312</math>
25	2	<math>5^3-10^2=25</math> <math>13^2-12^2=25</math>	<math>100</math> <math>144</math>
26	3	<math>3^3-1^q=26</math> <math>35^3-207^2=26</math> <math>2537^2-23^5=26</math>	<math>1</math> <math>42849</math> <math>6436343</math>
27	3	<math>6^2-3^2=27</math> <math>14^2-13^2=27</math> <math>3^5-6^3=27</math>	<math>9</math> <math>169</math> <math>216</math>
28	7	<math>2^5-2^2=28</math> <math>6^2-2^3=28</math> <math>2^6-6^2=28</math> <math>2^7-10^2=28</math> <math>2^9-22^2=28</math> <math>37^3-15^4=28</math> <math>2^{17}-362^2=28</math>	<math>4</math> <math>8</math> <math>36</math> <math>100</math> <math>484</math> <math>50625</math> <math>131044</math>
29	1	<math>15^2-14^2=29</math>	<math>196</math>
30	1	<math>83^2-19^3=30</math>	<math>6859</math>
31	2	<math>2^5-1^q=31</math> <math>2^8-15^2=31</math>	<math>1</math> <math>225</math>
32	4	<math>6^2-2^2=32</math> <math>2^6-2^5=32</math> <math>3^4-7^2=32</math> <math>6^5-88^2=32</math>	<math>4</math> <math>32</math> <math>49</math> <math>7744</math>
33	2	<math>7^2-2^4=33</math> <math>17^2-2^8=33</math>	<math>16</math> <math>256</math>
34	Es existiert keine Lösung.
35	3	<math>6^2-1^q=35</math> <math>18^2-17^2=35</math> <math>11^3-6^4=35</math>	<math>1</math> <math>289</math> <math>1296</math>
36	2	<math>10^2-2^6=36</math> <math>42^2-12^3=36</math>	<math>64</math> <math>1728</math>
37	3	<math>2^6-3^3=37</math> <math>19^2-18^2=37</math> <math>3788^2-3^{15}=37</math>	<math>27</math> <math>324</math> <math>14348907</math>
38	1	<math>37^2-11^3=38</math>	<math>1331</math>
39	4	<math>2^6-5^2=39</math> <math>20^2-19^2=39</math> <math>10^3-31^2=39</math> <math>22^3-103^2=39</math>	<math>25</math> <math>361</math> <math>961</math> <math>10609</math>
40	4	<math>7^2-3^2=40</math> <math>11^2-3^4=40</math> <math>2^8-6^3=40</math> <math>14^3-52^2=40</math>	<math>9</math> <math>81</math> <math>216</math> <math>2704</math>

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
41	3	<math>7^2-2^3=41</math> <math>13^2-2^7=41</math> <math>21^2-20^2=41</math>	<math>8</math> <math>128</math> <math>400</math>
42	Es existiert keine Lösung.
43	1	<math>22^2-21^2=43</math>	<math>441</math>
44	3	<math>5^3-3^4=44</math> <math>12^2-10^2=44</math> <math>13^2-5^3=44</math>	<math>81</math> <math>100</math> <math>125</math>
45	4	<math>7^2-2^2=45</math> <math>3^4-6^2=45</math> <math>23^2-22^2=45</math> <math>21^3-96^2=45</math>	<math>4</math> <math>36</math> <math>484</math> <math>9216</math>
46	1	<math>17^2-3^5=46</math>	<math>243</math>
47	6	<math>2^7-3^4=47</math> <math>6^3-13^2=47</math> <math>3^5-14^2=47</math> <math>24^2-23^2=47</math> <math>12^3-41^2=47</math> <math>63^3-500^2=47</math>	<math>81</math> <math>169</math> <math>196</math> <math>529</math> <math>1681</math> <math>250000</math>
48	4	<math>7^2-1^q=48</math> <math>2^6-2^4=48</math> <math>13^2-11^2=48</math> <math>28^3-148^2=48</math>	<math>1</math> <math>16</math> <math>121</math> <math>21904</math>
49	3	<math>3^4-2^5=49</math> <math>5^4-24^2=49</math> <math>65^3-524^2=49</math>	<math>32</math> <math>576</math> <math>274576</math>
50	Es existiert keine Lösung.
51	2	<math>10^2-7^2=51</math> <math>26^2-5^4=51</math>	<math>49</math> <math>625</math>
52	1	<math>14^2-12^2=52</math>	<math>144</math>
53	2	<math>3^6-26^2=53</math> <math>29^3-156^2=53</math>	<math>676</math> <math>24336</math>
54	2	<math>3^4-3^3=54</math> <math>7^3-17^2=54</math>	<math>27</math> <math>289</math>
55	3	<math>2^6-3^2=55</math> <math>28^2-3^6=55</math> <math>56^3-419^2=55</math>	<math>9</math> <math>729</math> <math>175561</math>
56	4	<math>2^6-2^3=56</math> <math>3^4-5^2=56</math> <math>15^2-13^2=56</math> <math>18^3-76^2=56</math>	<math>8</math> <math>25</math> <math>169</math> <math>5776</math>
57	3	<math>11^2-2^6=57</math> <math>20^2-7^3=57</math> <math>29^2-28^2=57</math>	<math>64</math> <math>343</math> <math>784</math>
58	Es existiert keine Lösung.
59	1	<math>30^2-29^2=59</math>	<math>841</math>
60	4	<math>2^6-2^2=60</math> <math>2^8-14^2=60</math> <math>136^3-1586^2=60</math> <math>76^5-50354^2=60</math>	<math>4</math> <math>196</math> <math>2515396</math> <math>2535525316</math>
61	2	<math>5^3-2^6=61</math> <math>31^2-30^2=61</math>	<math>64</math> <math>900</math>
62	Es existiert keine Lösung.

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
63	4	<math>2^6-1^q=63</math> <math>12^2-3^4=63</math> <math>2^{10}-31^2=63</math> <math>568^3-13537^2=63</math>	<math>1</math> <math>81</math> <math>961</math> <math>183250369</math>
64	4	<math>10^2-6^2=64</math> <math>2^7-2^6=64</math> <math>17^2-15^2=64</math> <math>24^2-2^9=64</math>	<math>36</math> <math>64</math> <math>225</math> <math>512</math>
65	4	<math>3^4-2^4=65</math> <math>33^2-2^{10}=65</math> <math>53^2-14^3=65</math> <math>14113^2-584^3=65</math>	<math>16</math> <math>1024</math> <math>2744</math> <math>199176704</math>
66	Es existiert keine Lösung.
67	2	<math>34^2-33^2=67</math> <math>23^3-110^2=67</math>	<math>1089</math> <math>12100</math>
68	5	<math>10^2-2^5=68</math> <math>14^2-2^7=68</math> <math>18^2-2^8=68</math> <math>46^2-2^{11}=68</math> <math>1874^2-152^3=68</math>	<math>32</math> <math>128</math> <math>256</math> <math>2048</math> <math>3511808</math>
69	2	<math>13^2-10^2=69</math> <math>35^2-34^2=69</math>	<math>100</math> <math>1156</math>
70	Es existiert keine Lösung.
71	4	<math>14^2-5^3=71</math> <math>2^9-21^2=71</math> <math>6^4-35^2=71</math> <math>3^7-46^2=71</math>	<math>125</math> <math>441</math> <math>1225</math> <math>2116</math>
72	4	<math>3^4-3^2=72</math> <math>11^2-7^2=72</math> <math>6^3-12^2=72</math> <math>19^2-17^2=72</math>	<math>9</math> <math>49</math> <math>144</math> <math>289</math>
73	6	<math>3^4-2^3=73</math> <math>10^2-3^3=73</math> <math>17^2-6^3=73</math> <math>37^2-6^4=73</math> <math>611^2-72^3=73</math> <math>6717^2-356^3=73</math>	<math>8</math> <math>27</math> <math>216</math> <math>1296</math> <math>373248</math> <math>45118016</math>
74	2	<math>3^5-13^2=74</math> <math>99^3-985^2=74</math>	<math>169</math> <math>970225</math>
75	3	<math>10^2-5^2=75</math> <math>14^2-11^2=75</math> <math>38^2-37^2=75</math>	<math>25</math> <math>121</math> <math>1369</math>
76	3	<math>5^3-7^2=76</math> <math>20^2-18^2=76</math> <math>101^3-1015^2=76</math>	<math>49</math> <math>324</math> <math>1030225</math>
77	2	<math>3^4-2^2=77</math> <math>39^2-38^2=77</math>	<math>4</math> <math>1444</math>
78	Es existiert keine Lösung.
79	4	<math>2^7-7^2=79</math> <math>40^2-39^2=79</math> <math>20^3-89^2=79</math> <math>302^2-45^3=79</math>	<math>49</math> <math>1521</math> <math>7921</math> <math>91125</math>
80	4	<math>3^4-1^q=80</math> <math>12^2-2^6=80</math> <math>21^2-19^2=80</math> <math>292^2-44^3=80</math>	<math>1</math> <math>64</math> <math>361</math> <math>85184</math>

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
81	4	<math>15^2-12^2=81</math> <math>18^2-3^5=81</math> <math>41^2-40^2=81</math> <math>13^3-46^2=81</math>	<math>144</math> <math>243</math> <math>1600</math> <math>2116</math>
82	Es existiert keine Lösung.
83	2	<math>42^2-41^2=83</math> <math>3^9-140^2=83</math>	<math>1681</math> <math>19600</math>
84	2	<math>10^2-2^4=84</math> <math>22^2-20^2=84</math>	<math>16</math> <math>400</math>
85	2	<math>11^2-6^2=85</math> <math>43^2-42^2=85</math>	<math>36</math> <math>1764</math>
86	Es existiert keine Lösung.
87	3	<math>2^8-13^2=87</math> <math>7^3-2^8=87</math> <math>44^2-43^2=87</math>	<math>169</math> <math>256</math> <math>1849</math>
88	3	<math>13^2-3^4=88</math> <math>6^3-2^7=88</math> <math>23^2-21^2=88</math>	<math>81</math> <math>128</math> <math>441</math>
89	6	<math>11^2-2^5=89</math> <math>5^3-6^2=89</math> <math>33^2-10^3=89</math> <math>45^2-44^2=89</math> <math>91^2-2^{13}=89</math> <math>408^2-55^3=89</math>	<math>32</math> <math>36</math> <math>1000</math> <math>1936</math> <math>8192</math> <math>166375</math>
90	Es existiert keine Lösung.
91	3	<math>10^2-3^2=91</math> <math>6^3-5^3=91</math> <math>46^2-45^2=91</math>	<math>9</math> <math>125</math> <math>2025</math>
92	4	<math>10^2-2^3=92</math> <math>2^7-6^2=92</math> <math>24^2-22^2=92</math> <math>2^{13}-90^2=92</math>	<math>8</math> <math>36</math> <math>484</math> <math>8100</math>
93	4	<math>5^3-2^5=93</math> <math>17^2-14^2=93</math> <math>47^2-46^2=93</math> <math>130^2-7^5=93</math>	<math>32</math> <math>196</math> <math>2116</math> <math>16807</math>
94	2	<math>11^2-3^3=94</math> <math>421^2-3^{11}=94</math>	<math>27</math> <math>177147</math>
95	4	<math>12^2-7^2=95</math> <math>6^3-11^2=95</math> <math>48^2-47^2=95</math> <math>6^7-23^4=95</math>	<math>49</math> <math>121</math> <math>2209</math> <math>279841</math>
96	5	<math>10^2-2^2=96</math> <math>11^2-5^2=96</math> <math>2^7-2^5=96</math> <math>14^2-10^2=96</math> <math>5^4-23^2=96</math>	<math>4</math> <math>25</math> <math>32</math> <math>100</math> <math>529</math>
97	3	<math>15^2-2^7=97</math> <math>7^4-48^2=97</math> <math>77^2-18^3=97</math>	<math>128</math> <math>2304</math> <math>5832</math>
98	2	<math>5^3-3^3=98</math> <math>21^2-7^3=98</math>	<math>27</math> <math>343</math>
99	4	<math>10^2-1^q=99</math> <math>3^5-12^2=99</math> <math>18^2-15^2=99</math> <math>50^2-7^4=99</math>	<math>1</math> <math>144</math> <math>225</math> <math>2401</math>

<math>n</math>	Anz. der Lsg.	<math>x^p - y^q = n</math> (als Potenz)	<math>y^q</math> (als Zahl)
100	10	<math>5^3-5^2=100</math> <math>15^2-5^3=100</math> <math>7^3-3^5=100</math> <math>26^2-24^2=100</math> <math>10^3-30^2=100</math> <math>5^5-55^2=100</math> <math>90^2-20^3=100</math> <math>118^2-24^3=100</math> <math>34^3-198^2=100</math> <math>137190^2-2660^3=100</math>	<math>25</math> <math>125</math> <math>243</math> <math>576</math> <math>900</math> <math>3025</math> <math>8000</math> <math>13824</math> <math>39204</math> <math>18821096000</math>
101	3	<math>2^7-3^3=101</math> <math>51^2-50^2=101</math> <math>926^2-95^3=101</math>	<math>27</math> <math>2500</math> <math>857375</math>
102	Es existiert keine Lösung.
103	2	<math>2^7-5^2=103</math> <math>52^2-51^2=103</math>	<math>25</math> <math>2601</math>
104	4	<math>15^2-11^2=104</math> <math>3^6-5^4=104</math> <math>30^3-164^2=104</math> <math>42^3-272^2=104</math>	<math>121</math> <math>625</math> <math>26896</math> <math>73984</math>
105	4	<math>11^2-2^4=105</math> <math>13^2-2^6=105</math> <math>19^2-2^8=105</math> <math>53^2-52^2=105</math>	<math>16</math> <math>64</math> <math>256</math> <math>2704</math>
106	2	<math>11^3-35^2=106</math> <math>59^2-15^3=106</math>	<math>1225</math> <math>3375</math>
107	3	<math>48^2-13^3=107</math> <math>54^2-53^2=107</math> <math>143^3-1710^2=107</math>	<math>2197</math> <math>2809</math> <math>2924100</math>
108	4	<math>12^2-6^2=108</math> <math>18^2-6^3=108</math> <math>28^2-26^2=108</math> <math>7002^2-366^3=108</math>	<math>36</math> <math>216</math> <math>676</math> <math>49027896</math>
109	3	<math>5^3-2^4=109</math> <math>55^2-54^2=109</math> <math>145^3-1746^2=109</math>	<math>16</math> <math>2916</math> <math>3048516</math>
110	Es existiert keine Lösung.
111	2	<math>20^2-17^2=111</math> <math>56^2-55^2=111</math>	<math>289</math> <math>3025</math>
112	8	<math>11^2-3^2=112</math> <math>2^7-2^4=112</math> <math>12^2-2^5=112</math> <math>2^8-12^2=112</math> <math>2^9-20^2=112</math> <math>29^2-3^6=112</math> <math>2^{11}-44^2=112</math> <math>2^{19}-724^2=112</math>	<math>9</math> <math>16</math> <math>32</math> <math>144</math> <math>400</math> <math>729</math> <math>1936</math> <math>524176</math>
113	6	<math>11^2-2^3=113</math> <math>5^4-2^9=113</math> <math>38^2-11^3=113</math> <math>57^2-56^2=113</math> <math>133^2-26^3=113</math> <math>8669^2-422^3=113</math>	<math>8</math> <math>512</math> <math>1331</math> <math>3136</math> <math>17576</math> <math>75151448</math>
114	Es existiert keine Lösung.
115	3	<math>14^2-3^4=115</math> <math>3^5-2^7=115</math> <math>58^2-57^2=115</math>	<math>81</math> <math>128</math> <math>3249</math>

Anzahl der Lösungen

Jeweils größte Anzahl von Lösungen (bei der Suche bis <math>2^{64}</math>):

n	Lsg.	n	Lsg.	n	Lsg.
1	1	17	7	1792	14
3	2	100	10	2160	15
4	3	207	12	2880	16
7	5	225	13	4032	17

	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
1…50	1	1	2	3	2	–	5	3	4	1	4	2	3	–	3	3	7	3	5	2	2	2	4	5	2	3	3	7	1	1	2	4	2	–	3	2	3	1	4	4	3	–	1	3	4	1	6	4	3	0
51…100	2	1	2	2	3	4	3	–	1	4	2	–	4	4	4	–	2	5	2	–	4	4	6	2	3	3	2	–	4	4	4	–	2	2	2	–	3	3	6	–	3	4	4	2	4	5	3	2	4	10
101…150	3	–	2	4	4	2	3	4	3	–	2	8	6	–	3	5	6	3	4	5	3	1	2	4	2	1	3	6	2	–	2	2	2	–	7	3	2	1	3	2	4	1	4	5	5	1	5	3	2	1
151…200	3	5	3	1	3	3	2	–	3	4	6	2	2	4	4	1	2	5	5	1	4	3	1	3	4	3	2	–	2	5	1	–	2	5	2	2	2	3	5	1	4	6	3	1	4	3	2	3	4	5
201…250	2	–	2	3	2	–	12	5	3	–	2	3	2	1	5	7	6	2	2	3	2	1	2	6	13	–	2	2	2	–	4	2	5	1	4	3	2	–	4	6	2	3	4	4	3	–	2	4	3	2
251…300	3	6	2	–	4	6	2	–	2	3	4	2	1	4	2	–	2	2	3	1	4	6	4	–	5	2	3	–	4	4	4	1	1	4	4	2	3	6	3	–	2	3	2	2	2	4	10	1	3	3
301…350	3	–	3	3	2	–	5	3	2	–	2	4	4	–	6	9	1	1	2	6	2	–	2	4	3	–	3	2	4	–	2	1	6	2	3	6	2	1	3	3	3	1	7	2	4	2	1	3	1	2
351…400	4	4	5	1	3	5	4	–	4	8	1	2	3	4	2	2	2	11	4	1	3	2	2	–	5	2	5	–	1	4	3	1	1	7	4	1	4	6	2	–	4	5	2	–	2	4	2	–	4	4
401…450	2	–	2	3	6	1	2	4	4	–	2	3	2	3	3	6	2	–	1	4	2	–	6	5	4	–	3	1	4	–	9	7	7	–	4	1	2	–	2	6	6	–	2	3	2	–	3	10	3	0
451…500	3	3	2	–	5	4	3	–	8	3	1	–	2	5	4	–	1	3	4	–	4	2	2	–	4	5	4	–	1	9	4	–	4	1	4	1	2	3	3	1	1	3	2	–	7	7	4	1	2	3
501…550	2	1	9	7	5	3	4	5	1	–	4	6	6	–	3	8	3	1	3	4	5	–	1	3	6	–	3	7	1	–	4	2	2	–	5	2	4	–	3	5	2	–	2	6	3	1	3	5	4	1
551…600	4	4	4	–	4	2	4	–	3	6	4	–	2	2	2	1	5	8	1	–	1	3	2	1	4	10	2	–	2	3	2	1	3	2	6	1	3	4	3	–	2	3	5	1	4	3	3	2	2	8
601…650	2	2	3	4	4	–	1	5	4	–	2	5	1	–	5	4	3	3	1	3	4	3	3	6	5	–	4	2	2	–	4	2	3	–	3	3	3	1	7	6	1	–	1	5	4	–	2	10	6	0
651…700	4	2	1	–	3	6	5	–	3	4	1	–	5	2	5	1	3	2	2	–	3	8	3	2	6	7	1	1	3	5	5	–	2	5	2	1	2	5	2	–	1	2	6	1	2	6	4	–	2	3
701…750	2	3	3	7	4	2	2	2	1	1	4	3	4	–	4	3	3	2	4	10	5	–	2	2	3	1	2	6	5	1	2	5	1	1	7	4	4	–	2	4	4	–	2	5	4	1	4	3	2	0
751…800	2	5	3	–	5	5	4	–	4	5	2	–	2	3	6	2	4	8	3	–	2	3	1	1	13	4	4	–	2	4	3	2	4	7	3	–	1	1	2	–	3	7	3	–	4	2	2	–	2	7
801…850	4	2	2	6	4	1	3	4	2	–	1	3	3	1	2	6	4	1	7	2	2	–	2	3	6	–	1	10	2	–	4	6	6	1	2	6	4	1	1	8	3	–	2	2	3	2	9	3	4	2
851…900	2	2	1	–	6	6	3	–	2	2	4	–	2	8	2	2	3	5	2	–	2	3	11	–	7	3	1	1	3	6	1	3	1	2	6	–	3	7	3	2	7	7	2	1	4	7	4	–	4	6
901…950	4	–	4	2	2	1	1	2	3	–	1	6	3	2	4	2	3	–	3	5	3	–	2	5	3	–	5	5	2	1	6	4	2	1	5	8	2	1	3	5	1	–	2	8	9	–	1	2	3	0
951…1000	3	4	3	2	2	1	4	–	3	11	2	1	3	8	2	–	3	5	4	1	4	4	5	1	8	4	3	–	2	8	4	1	1	6	3	–	4	4	2	–	3	6	2	–	2	4	2	–	10	5

Siehe auch

• Pillai-Vermutung

Literatur

• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
• Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan’schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67.
• Yuri Bilu: Catalan’s Conjecture (after Mihailescu). Seminaire Bourbaki, Nr. 909, 2002, (PDF).
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan’s Conjecture. Diplomarbeit, Universität Leiden 2003, (PDF).
• Maurice Mischler, Jacques Boéchat zur Catalan-Vermutung, französisch (Arxiv).
• Henri Cohen zum Beweis der Catalan-Vermutung, französisch (online).
• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Weblinks

• {{#if: Eric Weisstein | Eric Weisstein | Eric W. Weisstein }}: Catalan's Conjecture. In: MathWorld (englisch). {{#if: CatalansConjecture | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | CatalansConjecture | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Andreas Fasel: Geniestreich eines spät Berufenen. In: Die Welt

Einzelnachweise

<references />

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