Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt. Das Theorem wurde 1911 von Niels Bohr<ref>Niels Bohr, J. Rud Nielsen, Léon Rosenfeld: Early work (1905–1911). In: Niels Bohr - Collected Works. Band 1, Nr. 1. North-Holland, Amsterdam Oxford 1986, ISBN 0-7204-1801-1, Part 2 Electron theory of metals. </ref> und 1921 unabhängig von Hendrika Johanna van Leeuwen<ref>H.-J. van Leeuwen: Problèmes de la théorie électronique du magnétisme. (PDF) In: Le journal de physique et le radium, série VI, tome II, No 12. Dezember 1921, S. 361–377, abgerufen am 4. Dezember 2013 (). </ref> entdeckt.

Heuristische klassische Betrachtung

Die Magnetisierung (die Dichte der magnetischen Momente) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, die Größe der Kraft bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit kann es keine Magnetisierung geben.<ref name=":0">Magnetism in condensed matter (= Oxford master series in condensed matter physics). Oxford University Press, 2001, ISBN 0-585-48360-4, 1.2.2 The Bohr-van Leeuwen theorem. </ref>

Mathematischer Beweis

Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> in Magnetfeldern <math>\mathbf B_i</math> mit Vektorpotentialen <math>\mathbf A_i</math> <math>(\mathbf{B}_i = \mathrm{rot}\mathbf{A}_i)</math> ist die Hamiltonfunktion <math>H</math>, welche die Energie des Systems beschreibt, definiert über <math>H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\}</math> <ref>Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. cgs-System benutzt. Im alternativen Internationalen Einheitensystem ersetzt man c durch 1.</ref>  . Dabei stellt das erste Argument den sogenannten kanonischen Impuls <math>\mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i</math> dar, während <math>m\mathbf v_i</math> den kinetischen Impuls bildet. Im Gegensatz zu <math>m\mathbf v_i</math> ist <math>\mathbf A_i</math> nicht eindeutig, sondern man kann zu ihm ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen, ohne dass sich <math>\mathbf B_i</math> ändert.

Die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der statistischen Physik ist klassisch über den kanonischen Impuls definiert:<ref>Wolfgang Nolting: Grundkurs theoretische Physik. 6: Statistische Physik (= Springer-Lehrbuch). 7. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-25392-8, S. 463. </ref>

<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,\mathrm{e}^{-\beta H\{( \mathbf p_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i), \mathbf r_i )\}}</math>

Nun geht man zum kinetischen Impuls über, indem man substituiert: <math>\mathbf p_i \equiv \mathbf p_i' + \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i)</math>. Da alle Impulse <math>\mathbf p_i'</math> über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu

<math>Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p' \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\,

\mathrm{e}^{-\beta H\{ (\mathbf p_i', \mathbf r_i )\}}</math>

Da diese nun weder von <math>\mathbf A</math>, noch von <math> \mathbf B</math> abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,

<math>\mathbf M = k_\mathrm{B}T\frac{\partial\,\mathrm{ln} Z}{\partial Z} = 0.</math>

Abweichung in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van-Leeuwen-Theorem nicht mehr, weil der Spin des Teilchens zu berücksichtigen ist.<ref name=":0" /> Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang <math>E_{kin} = \frac{m}{2}v_i^2 = \frac{\mathrm p_i'^2}{2m} \, ,</math> also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr.

Stattdessen hängt der Hamiltonoperator explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. Ferromagnetismus von bestimmten Festkörpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

Einzelnachweise und Fußnoten

<references />

Siehe auch

• Magnetismus, insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.