Blumenthalsches Null-Eins-Gesetz

Das Blumenthalsche 0-1-Gesetz, benannt nach R. M. Blumenthal, ist ein mathematischer Satz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wie alle Null-Eins-Gesetze beschreibt er eine Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten stets 0 oder 1 sind.

Aussage

Sei <math>(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(B_t)_{t\ge 0}</math> eine darauf definierte Brownsche Bewegung mit Filtrierung <math>\mathcal{F}_t=\sigma(\{B_s\mid s\le t\})</math>. Dann ist die σ-Algebra <math>\mathcal{F}_0^+</math>, definiert durch <math>\textstyle\mathcal{F}_0^+=\bigcap_{t>0}\mathcal{F}_t</math>, <math>\mathbb{P}</math>-trivial, d. h. es gilt: <math>\mathbb{P}(A)\in\{0,1\}</math> für alle <math>A\in\mathcal{F}_0^+</math>.

Anschaulich beinhaltet <math>\mathcal{F}_0^+</math> genau jene Ereignisse, die nur von <math>(B_t)_{0\le t\le\varepsilon}</math>, für beliebig kleines <math>\varepsilon</math> abhängen. Beispielsweise ist das Ereignis <math>A=\{\forall\varepsilon>0\exists t>0:\; t<\varepsilon\wedge B_t=0\}\in\mathcal{F}_0^+</math>, es gilt also <math>\mathbb{P}(A)\in\{0,1\}</math>.

Literatur

• Blumenthal, R.M.: An extended Markov property. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 85, 1957, S. 52–72.
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8