Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> auf einen anderen Raum <math>(\Omega', \Sigma')</math> zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion <math>g \colon \Omega \to \Omega'</math> den Mengen in <math>\Sigma'</math> Werte zugeordnet. Das so auf <math>\Omega'</math> definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol <math>*</math> oder <math>\#</math> verwendet: <math>g^*\mu</math>, <math>\mu \circ g^{-1}</math>, <math>g^{\#} \mu</math>, <math>g \sharp \mu</math>, oder <math>g \# \mu</math>.

Definition

Es sei <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math> ein Maßraum, <math>(\Omega',\Sigma')</math> ein Messraum und

<math>g\colon\Omega\to\Omega'</math>

eine <math>\Sigma\text{-}\Sigma'</math>-messbare Funktion. Dann ist die Abbildung

<math> (g^*\mu):=\mu \circ g^{-1}: \Sigma' \to [0,\infty]</math>

definiert durch

<math>A' \mapsto \mu(g^{-1}(A'))</math>

ein Maß auf <math>(\Omega',\Sigma')</math>, genannt das Bildmaß von <math>\mu</math> bezüglich <math>g</math>. Dabei bezeichnet <math>g^{-1}(A')</math> das Urbild von <math>A'\in\Sigma'</math>.

Transformationssatz

Für eine messbare Funktion <math>f \colon \Omega' \to \overline{\R}</math> (wobei <math>\overline{\R} := \R \cup \{-\infty, +\infty \}</math> die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen <math>A\subseteq\Omega'\; </math>:

<math>\int_{g^{-1}(A)} f \circ g \; \mathrm d\mu = \int_A f \; \mathrm d(\mu \circ g^{-1})</math>,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.<ref name="Ash1.6.12">Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.</ref>

Quellen