Bialgebra
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Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.
Definition
Sei <math>k</math> ein Körper und <math>B</math> sowohl unitäre assoziative Algebra über <math>k</math> als auch Koalgebra über <math>k</math>. Dabei bezeichne <math>\mu_B</math> die Multiplikation, <math>\eta_B</math> die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), <math>\Delta_B</math> die Komultiplikation und <math>\epsilon_B</math> die Koeins.
<math>B</math> heißt Bialgebra über <math>k</math> wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.
- Die Komultiplikation <math>\Delta_B</math> und die Koeins <math>\epsilon_B</math> sind Algebrahomomorphismen.
- Die Multiplikation <math>\mu_B</math> und die Eins <math>\eta_B</math> sind Koalgebrahomomorphismen.
- Die folgenden Diagramme kommutieren
Dabei ist <math>\tau_{B,B}:=v\otimes w\mapsto w\otimes v</math> die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte <math>V\otimes W</math> und <math>W\otimes V</math> angewandt auf <math>B\otimes B</math>.
Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.
Verallgemeinerung
Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko-)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko-)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.
Literatur
- Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6