Weyl-Gleichung

Vorlage:Hinweisbaustein Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.<ref>Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung. Spektrum, abgerufen am 27. August 2024. </ref>

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.<ref>Rainer Scharf: Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen. Welt der Physik, abgerufen am 27. August 2024. </ref><ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref>

Formulierung

<math> \begin{align}

\mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_R &= 0 \\ \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu \Psi_L &= 0 \end{align}</math>

mit

der imaginären Einheit <math>i</math>
<math> \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & + \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
<math>\bar \sigma^\mu = \begin{pmatrix} \sigma^0 & - \vec \sigma\end{pmatrix}</math>
- der zweidimensionalen Einheitsmatrix <math>\sigma^0</math>
- den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen <math>\vec \sigma</math>.

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall

<math>\Psi_L</math> das linkshändige Neutrino
<math>\Psi_R</math> das rechtshändige Antineutrino.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

<math>\Psi = \begin{pmatrix}

\Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix}</math>

Die 2er-Spinoren <math>\Psi_L</math> und <math>\Psi_R</math> sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators <math>\gamma^5</math>, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

<math>\begin{align}

\gamma^5 \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} &= - \begin{pmatrix}\Psi_L \\ 0\end{pmatrix} \\ \gamma^5 \begin{pmatrix}0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} &= + \begin{pmatrix} 0 \\ \Psi_R\end{pmatrix} \end{align}</math>.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse <math>m</math> gekoppelt:

<math>

\left(\mathrm i\gamma^\mu \partial_\mu - m\right)\Psi= \begin{pmatrix} -m& \mathrm i \sigma^\mu \partial_\mu\\ \mathrm i \bar \sigma^\mu \partial_\mu &-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Psi_L\\\Psi_R\end{pmatrix} = 0 </math>.

Verschwindet die Masse (<math>m = 0</math>), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:

<math>D_\mu = \partial_\mu - \mathrm i g T_a W^a_\mu</math>

Dabei bezeichnen

<math>g</math> die Kopplungskonstante,
<math>T_a</math> die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
<math>W^a_\mu</math> die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

Einzelnachweise