Band (Mathematik)

In der Differentialgeometrie ist ein Band die Kombination von einer glatten Kurve und deren dazugehörigem Normalvektor. Formal beinhaltet ein Band, welches als <math>(X,U)</math> definiert ist, eine Kurve <math>X</math>, welche als ein dreidimensionaler Vektor <math>X(s)</math> gegeben ist, wobei dieser stetig von der Bogenlänge <math>s</math> <math>(a\leq s \leq b)</math> der Kurve abhängt, und einem Einheitsvektor <math>U(s)</math> besteht, welcher orthogonal an jeder Stelle zu <math>{\partial X \over \partial s}(s)</math> liegt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Bänder haben Anwendung im Zusammenhang mit DNA gefunden.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eigenschaften

Das Band <math>(X,U)</math> ist einfach, wenn <math>X</math> eine geschlossene Jordan-Kurve (selbstschnittlos) ist und <math>U</math> und all ihre Ableitungen an Stellen <math>a</math> und <math>b</math> übereinstimmen.

Für jenes einfaches, geschlossenes Band sind die Kurven <math>X+\varepsilon U</math>, parametrisiert durch <math>X(s)+\varepsilon U(s)</math>, für alle genügend kleinen, positiven <math>\varepsilon</math> einfache, geschlossene Kurven, welche disjunkt von <math>X</math> sind.

Bänder spielen eine wichtige Rolle in der Formel von Călugăreanu,<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:

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  }}</ref> welche besagt, dass

wobei <math>Lk</math> die asymptotische Verschlingungszahl ist, welche die ganze Anzahl an Drehungen des Bandes um dessen eigene Achse beträgt; <math>Wr</math> bezeichnet die totale Anzahl an Verwringungen (oder vereinfacht Drall), welches ein Maß der nicht-Planarität der Achsenkurve des Bandes ist; <math>Tw</math> ist die totale Anzahl der Drehungen, welche die Rotatonsrate des Bandes um dessen eigene Achse ist.

Die Bandtheorie erforscht geometrische und topologische Aspekte bandmathematischer Eigenschaften von biologischen und physischen Eigenschaften, wie topologische Strömungsdymanik, DNA und Materialwissenschaft.

Siehe auch

Einzelnachweise