Jordan-Kurve
Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises <math>S_1</math> oder des Intervalls <math>I_1=[0;1]</math> in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von <math>I_1</math> nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von <math>S_1</math> wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)
Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.
Beispiele
Der Einheitskreis mit der Parametrisierung
- <math>\varphi(t) = (\cos(t), \sin(t))</math>, <math>t\in[0, 2\pi]</math>
ist eine geschlossene Jordankurve.
Der Weg
- <math>\varphi(t) = (\cos(t), \sin(t))</math> mit <math>t \in [0, 3\pi]</math>
liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.
- <math>\varphi(1) = \varphi(2\pi +1)</math>.
Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.
Die Strecke
- <math>\varphi(t) = (t, 0)</math> mit <math>t \in [0, 1]</math>
ist eine (offene) Jordankurve.
Siehe auch
Literatur
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 338.
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 361.
Weblinks
- Jordan Curve in der Encyclopaedia of Mathematics
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Jordan Curve. In: MathWorld (englisch). {{#if: JordanCurve | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | JordanCurve | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}