Auslander-Reiten-Köcher

Der Auslander-Reiten-Köcher – benannt nach Maurice Auslander (1926–1994) und Idun Reiten (1942–2025) – ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich, um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers oder – allgemeiner – von Moduln über Artin-Algebren zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers

Sei <math>k</math> ein Körper und <math>Q</math> ein azyklischer Köcher. Sei <math>C</math> die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper <math>k</math>. Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers <math>\Gamma_C</math> die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in <math>C</math>. Zwischen zwei Punkten <math>x</math> und <math>y</math> sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus <math>x</math> wähle einen Repräsentanten <math>X</math> und aus <math>y</math> einen Repräsentanten <math>Y</math>. Die Pfeile von <math>X</math> nach <math>Y</math> bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von <math>X</math> nach <math>Y</math>. Die Translation <math>\tau</math> ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in <math>\Gamma_C</math> in die Menge der Punkte <math>\Gamma_C</math>. Für jeden Punkt <math>z</math>, dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Folge (fast zerfallende, kurze exakte Folge) der Form <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> mit <math>Z\in z</math>. Dann ist <math>\tau(z)=x</math>.

Entsprechend gibt es auch für jeden Punkt <math>x</math>, dessen Elemente nicht injektiv sind, eine Auslander-Reiten-Folge der Form <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> mit <math>X\in x</math>.

Erläuterungen

Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt (jede nicht-triviale Darstellung eines Köchers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen) eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie <math>C</math>.

Falls <math>C</math> darstellungsendlich ist, lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.

Literatur

• M. Auslander, I. Reiten: Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra 3 (1975), 239–294
• M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø: Representation theory of artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press (1994)
• Karsten Schmidt: Auslander-Reiten theory for simply connected differential graded algebras. Dissertation, Universität Paderborn 2007