Ausgehöhltes Dodekaeder
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Das ausgehöhlte Dodekaeder ist ein konkaves Polyeder, das sich aus 60 gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Sternkörpern zählt. Es hat 32 Ecken und 90 Kanten.<ref name=":0" /> 20 der insgesamt 32 Ecken sind die Eckpunkte eines Dodekaeders, das die konvexe Hülle des Sternkörpers bildet. Die übrigen, innen liegenden, 12 Ecken sind die Eckpunkte eines Ikosaeders.
Entstehung
Von einem Dodekaeder werden zwölf Fünfeckpyramiden mit den Begrenzungsflächen des Dodekaeders als Grundflächen ausgeschnitten. Das so entstehende Polyeder ist eine der 59 möglichen Stellationen des Ikosaeders. Es trägt nach Harold Scott MacDonald Coxeter die Bezeichnung <math>Ef_1g_1</math>.<ref>Kate Crennell, David Crennell, H. S. M. Coxeter: The fifty-nine icosahedra. Springer-Verlag, New York 1982, ISBN 978-0-387-90770-3, S. 22.</ref>
Verwandte Polyeder
-
Dodekaeder (konvexe Hülle)
-
Ikosaeder (Kern)
Gleichwertig zum ausgehöhlten Dodekaeder – in Bezug auf Flächen-, Ecken- und Kantenanzahl – sind das Pentakisdodekaeder und der Dodekaederstern, deren Pyramiden jedoch nach außen statt nach innen gerichtet sind und unterschiedlich lange Seiten haben.
Formeln
| Größen eines ausgehöhlten Dodekaeders mit Kantenlänge a | ||
|---|---|---|
| Volumen<ref name=":0">Efraín Soto Apolinar: Illustrated Glossary for School Mathematics. Efrain Soto Apolinar, 2023, ISBN 978-6-07294131-1, S. 167 (google.de [abgerufen am 6. April 2026]).</ref> | <math>V = \frac{5}{4}a^3 \left(1 + \sqrt{5} \right)</math> | |
| Oberflächeninhalt<ref name=":0" /> | <math>A_O = 15a^2 \sqrt{3}</math> | |
| Pyramidenhöhe | <math>h = a \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}</math> | |
| Ikosaederkantenlänge | <math>b = \frac{a}{2} \left(\sqrt{5} - 1 \right)</math> | |
| 1. Flächenwinkel <math>\alpha_1</math> ≈ 138° 11′ 23″ |
<math>\cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{3} \sqrt{5}</math> | |
| 2. Flächenwinkel <math>\alpha_2</math> ≈ 41° 48′ 37″ |
<math>\cos \, \alpha_2 = \frac{1}{3} \sqrt{5}</math> | |
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Icosahedron Stellations. In: MathWorld (englisch).
- Eric W. Weisstein: Dodecahedron Stellations. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
<references />