Johnson-Körper

Die Johnson-Körper sind eine Klasse geometrischer Körper.

Eigenschaften

Johnson-Körper sind streng konvexe Polyeder, die ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind, aber weder platonische Körper, archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. Gemeinsam mit den catalanischen Körpern ist, dass die Ecken eines Johnson-Körpers nicht identisch sind. Eine Besonderheit unter den Johnson-Körpern ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder (J₃₇), dessen Ecken zwar lokal uniform sind, aber nicht global.

1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste von 92 derartigen Polyedern; seine Annahme, dass sie vollständig ist,<ref>Norman W. Johnson: Convex Solids with Regular Faces. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 18, 1966, ISSN 0008-414X, S. 169–200.</ref> wurde 1969 von Wictor Salgaller bewiesen.<ref>Viktor A. Zalgaller: Convex Polyhedra with Regular Faces (= Seminars in Mathematics. Bd. 2, ISSN 0080-8873). Consultants Bureauvon, New York NY 1969.</ref>

Liste

Johnson-Körper werden oft mit J_n bezeichnet, wobei n die Nummer des Körpers in der folgenden Liste ist. Beispielsweise ist die Dreieckskuppel J₃.

In der folgenden Liste ist E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten, F_n die Anzahl der n-eckigen Flächen und F = F₃ + F₄ + F₅ + … die Anzahl aller Flächen des jeweiligen Körpers.

Pyramiden, Kuppeln und Rotunden

Vorlage:Tabellenstile

J_n	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	Symmetrie
01	Quadratpyramide	Datei:Square pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz01.svg	Pyramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C_4v
02	Fünfeckpyramide	Datei:Pentagonal pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz02.svg	Pyramide	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C_5v
03	Dreieckskuppel	Datei:Triangular cupola.png	Datei:Dreieckskuppelnetz.svg	Kuppel	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C_3v
04	Quadratkuppel	Datei:Square cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz04.svg		12	20	10	4	5	0	0	1	0	C_4v
05	Fünfeckskuppel	Datei:Pentagonal cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz05.svg		15	25	12	5	5	1	0	0	1	C_5v
06	Fünfecksrotunde, ein in der Mitte geteiltes Ikosidodekaeder	Datei:Pentagonal rotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz06.svg	Rotunde	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C_5v

Modifizierte Pyramiden

J_n	Name	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F₃	F₄	F₅	Symmetrie
07	verlängerte Dreieckpyramide	Datei:Elongated triangular pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz07.svg	verlängerte Pyramide	7	12	7	4	3	0	C_3v
08	verlängerte Quadratpyramide (gleichzeitig erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma)	Datei:Elongated square pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz08.svg		9	16	9	4	5	0	C_4v
09	verlängerte Fünfeckpyramide	Datei:Elongated pentagonal pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz09.svg		11	20	11	5	5	1	C_5v
10	verdreht verlängerte Quadratpyramide	Datei:Gyroelongated square pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz10.svg	verdreht verlängerte Pyramide	9	20	13	12	1	0	C_4v
11	verdreht verlängerte Fünfeckpyramide (beschnittenes Ikosaeder)	Datei:Gyroelongated pentagonal pyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz11.svg	verdreht verlängerte Pyramide	11	25	16	15	0	1	C_5v
12	Dreiecksbipyramide	Datei:Triangular dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz12.svg	Bipyramide	5	9	6	6	0	0	D_3h
13	Fünfecksbipyramide	Datei:Pentagonal dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz13.svg	Bipyramide	7	15	10	10	0	0	D_5h
14	verlängerte Dreiecksbipyramide	Datei:Elongated triangular dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz14.svg	verlängerte Bipyramide	8	15	9	6	3	0	D_3h
15	verlängerte Quadratbipyramide (gleichzeitig zweifach erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma)	Datei:Elongated square dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz15.svg		10	20	12	8	4	0	D_4h
16	verlängerte Fünfecksbipyramide	Datei:Elongated pentagonal dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz16.svg		12	25	15	10	5	0	D_5h
17	verdreht verlängerte Quadratbipyramide	Datei:Gyroelongated square dipyramid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz17.svg	verdreht verlängerte Bipyramide	10	24	16	16	0	0	D_4d

Modifizierte Kuppeln und Rotunden

J_n	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	Symmetrie
18	verlängerte Dreieckskuppel	Datei:Elongated triangular cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz18.svg	verlängerte Kuppel	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C_3v
19	verlängerte Quadratkuppel (Beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder)	Datei:Elongated square cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz19.svg		20	36	18	4	13	0	0	1	0	C_4v
20	verlängerte Fünfeckskuppel	Datei:Elongated pentagonal cupola.svg	Datei:Johnsonkoerpernetz20.svg		25	45	22	5	15	1	0	0	1	C_5v
21	verlängerte Fünfecksrotunde	Datei:Elongated pentagonal rotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz21.svg	verlängerte Rotunde	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C_5v
22	verdreht verlängerte Dreieckskuppel	Datei:Gyroelongated triangular cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz22.svg	verdreht verlängerte Kuppel	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C_3v
23	verdreht verlängerte Quadratkuppel	Datei:Gyroelongated square cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz23.svg		20	44	26	20	5	0	0	1	0	C_4v
24	verdreht verlängerte Fünfeckskuppel	Datei:Gyroelongated pentagonal cupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz24.svg		25	55	32	25	5	1	0	0	1	C_5v
25	verdreht verlängerte Fünfecksrotunde	Datei:Gyroelongated pentagonal rotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz25.svg	verdreht verlängerte Rotunde	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C_5v
26	verdrehter Doppelkeil	Datei:Gyrobifastigium.png	Datei:Johnsonkoerpernetz26.svg	Doppelkuppel	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D_2d
27	Dreiecksdoppelkuppel (verdrehtes Kuboktaeder, Disheptaeder)	Datei:Triangular orthobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz27.svg		12	24	14	8	6	0	0	0	0	D_3h
28	Quadratdoppelkuppel	Datei:Square orthobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz28.svg		16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4h
29	verdrehte Quadratdoppelkuppel	Datei:Square gyrobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz29.svg		16	32	18	8	10	0	0	0	0	D_4d
30	Fünfecksdoppelkuppel	Datei:Pentagonal orthobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz30.svg		20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5h
31	verdrehte Fünfecksdoppelkuppel	Datei:Pentagonal gyrobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz31.svg		20	40	22	10	10	2	0	0	0	D_5d
32	Fünfeckskuppelrotunde	Datei:Pentagonal orthocupolarotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz32.svg	Kuppelrotunde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
33	verdrehte Fünfeckskuppelrotunde	Datei:Pentagonal gyrocupolarotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz33.svg	Kuppelrotunde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C_5v
34	Fünfecksdoppelrotunde (verdrehtes Ikosidodekaeder)	Datei:Pentagonal orthobirotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz34.svg	Doppelrotunde	30	60	32	20	0	12	0	0	0	D_5h
35	verlängerte Dreiecksdoppelkuppel	Datei:Elongated triangular orthobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz35.svg	verlängerte Doppelkuppel	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3h
36	verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel	Datei:Elongated triangular gyrobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz36.svg		18	36	20	8	12	0	0	0	0	D_3d
37	verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel (verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)	Datei:Elongated square gyrobicupola.svg	Datei:Johnsonkoerpernetz37.svg		24	48	26	8	18	0	0	0	0	D_4d
38	verlängerte Fünfecksdoppelkuppel	Datei:Elongated pentagonal orthobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz38.svg		30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5h
39	verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel	Datei:Elongated pentagonal gyrobicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz39.svg		30	60	32	10	20	2	0	0	0	D_5d
40	verlängerte Fünfeckskuppelrotunde	Datei:Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz40.svg	verlängerte Kuppelrotunde	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
41	verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde	Datei:Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz41.svg	verlängerte Kuppelrotunde	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C_5v
42	verlängerte Fünfecksdoppelrotunde	Datei:Elongated pentagonal orthobirotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz42.svg	verlängerte Doppelrotunde	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5h
43	verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde	Datei:Elongated pentagonal gyrobirotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz43.svg	verlängerte Doppelrotunde	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D_5d
44	verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel	Datei:Gyroelongated triangular bicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz44.svg	verdreht verlängerte Doppelkuppel	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D₃
45	verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel	Datei:Gyroelongated square bicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz45.svg		24	56	34	24	10	0	0	0	0	D₄
46	verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel	Datei:Gyroelongated pentagonal bicupola.png	Datei:Johnsonkoerpernetz46.svg		30	70	42	30	10	2	0	0	0	D₅
47	verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde	Datei:Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz47.svg	verdreht verlängerte Kuppelrotunde	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C₅
48	verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde	Datei:Gyroelongated pentagonal birotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz48.svg	verdreht verlängerte Doppelrotunde	40	90	52	40	0	12	0	0	0	D₅

Erweiterte Prismen

J_n	Körper	Abbildung	Netz	E	K	F	F₃	F₄	F₅	F₆	Symmetrie
49	erweitertes Dreiecksprisma	Datei:Augmented triangular prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz49.svg	7	13	8	6	2	0	0	C_2v
50	doppelt erweitertes Dreiecksprisma	Datei:Biaugmented triangular prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz50.svg	8	17	11	10	1	0	0	C_2v
51	dreifach erweitertes Dreiecksprisma	Datei:Triaugmented triangular prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz51.svg	9	21	14	14	0	0	0	D_3h
52	erweitertes Fünfecksprisma	Datei:Augmented pentagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz52.svg	11	19	10	4	4	2	0	C_2v
53	doppelt erweitertes Fünfecksprisma	Datei:Biaugmented pentagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz53.svg	12	23	13	8	3	2	0	C_2v
54	erweitertes Sechsecksprisma	Datei:Augmented hexagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz54.svg	13	22	11	4	5	0	2	C_2v
55	doppelt erweitertes Sechsecksprisma (para)	Datei:Parabiaugmented hexagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz55.svg	14	26	14	8	4	0	2	D_2h
56	doppelt erweitertes Sechsecksprisma (meta)	Datei:Metabiaugmented hexagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz56.svg	14	26	14	8	4	0	2	C_2v
57	dreifach erweitertes Sechsecksprisma	Datei:Triaugmented hexagonal prism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz57.svg	15	30	17	12	3	0	2	D_3h

Modifizierte platonische Körper

J_n	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F₃	F₅	Symmetrie
58	erweitertes Dodekaeder	Datei:Augmented dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz58.svg	erweitertes Dodekaeder	21	35	16	5	11	C_5v
59	doppelt erweitertes Dodekaeder (para)	Datei:Parabiaugmented dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz59.svg		22	40	20	10	10	D_5d
60	doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)	Datei:Metabiaugmented dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz60.svg		22	40	20	10	10	C_2v
61	dreifach erweitertes Dodekaeder	Datei:Triaugmented dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz61.svg		23	45	24	15	9	C_3v
62	doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)	Datei:Metabidiminished icosahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz62.svg	beschnittenes Ikosaeder	10	20	12	10	2	C_2v
63	dreifach beschnittenes Ikosaeder	Datei:Tridiminished icosahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz63.svg	beschnittenes Ikosaeder	9	15	8	5	3	C_3v
64	erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder	Datei:Augmented tridiminished icosahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz64.svg	-	10	18	10	7	3	C_3v

Modifizierte archimedische Körper

J_n	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	Symmetrie
65	erweitertes abgestumpftes Tetraeder	Datei:Augmented truncated tetrahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz65.svg	erweitertes abgestumpftes Tetraeder	15	27	14	8	3	0	3	0	0	C_3v
66	erweitertes abgestumpftes Hexaeder	Datei:Augmented truncated cube.png	Datei:Johnsonkoerpernetz66.svg	erweitertes abgestumpftes Hexaeder	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C_4v
67	doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder	Datei:Biaugmented truncated cube.png	Datei:Johnsonkoerpernetz67.svg	erweitertes abgestumpftes Hexaeder	32	60	30	16	10	0	0	4	0	D_4h
68	erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	Datei:Augmented truncated dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz68.svg	erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C_5v
69	doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (para)	Datei:Parabiaugmented truncated dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz69.svg		70	120	52	30	10	2	0	0	10	D_5d
70	doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (meta)	Datei:Metabiaugmented truncated dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz70.svg		70	120	52	30	10	2	0	0	10	C_2v
71	dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	Datei:Triaugmented truncated dodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz71.svg		75	135	62	35	15	3	0	0	9	C_3v
72	verdrehtes Rhombenikosidodekaeder	Datei:Gyrate rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz72.svg	verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_5v
73	doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)	Datei:Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz73.svg		60	120	62	20	30	12	0	0	0	D_5d
74	doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)	Datei:Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz74.svg		60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_2v
75	dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	Datei:Trigyrate rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz75.svg		60	120	62	20	30	12	0	0	0	C_3v
76	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	Datei:Diminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz76.svg	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
77	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)	Datei:Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz77.svg	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_5v
78	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)	Datei:Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz78.svg		55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
79	doppelt verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	Datei:Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz79.svg		55	105	52	15	25	11	0	0	1	C_s
80	doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)	Datei:Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz80.svg	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D_5d
81	doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)	Datei:Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz81.svg	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_2v
82	verdrehtes doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	Datei:Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz82.svg	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C_2v
83	dreifach beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	Datei:Tridiminished rhombicosidodecahedron.png	Datei:Johnsonkoerpernetz83.svg	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	45	75	32	5	15	9	0	0	3	C_3v

Übrige

J_n	Körper	Abbildung	Netz	E	K	F	F₃	F₄	F₅	F₆	Symmetrie
84	Trigondodekaeder	Datei:Snub disphenoid.png	Datei:Johnsonkoerpernetz84.svg	8	18	12	12	0	0	0	D_2d
85	abgeschrägtes Quadratantiprisma	Datei:Snub square antiprism.png	Datei:Johnsonkoerpernetz85.svg	16	40	26	24	2	0	0	D_4d
86	Sphenocorona	Datei:Sphenocorona.png	Datei:Johnsonkoerpernetz86.svg	10	22	14	12	2	0	0	C_2v
87	erweiterte Sphenocorona	Datei:Augmented sphenocorona.png	Datei:Johnsonkoerpernetz87.svg	11	26	17	16	1	0	0	C_s
88	Sphenomegacorona	Datei:Sphenomegacorona.png	Datei:Johnsonkoerpernetz88.svg	12	28	18	16	2	0	0	C_2v
89	Hebesphenomegacorona	Datei:Hebesphenomegacorona.png	Datei:Johnsonkoerpernetz89.svg	14	33	21	18	3	0	0	C_2v
90	Disphenocingulum	Datei:Disphenocingulum.png	Datei:Johnsonkoerpernetz90.svg	16	38	24	20	4	0	0	D_2d
91	Bilunadoppelrotunde	Datei:Bilunabirotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz91.svg	14	26	14	8	2	4	0	D_2h
92	Dreieckshebesphenorotunde	Datei:Triangular hebesphenorotunda.png	Datei:Johnsonkoerpernetz92.svg	18	36	20	13	3	3	1	C_3v

Weblinks

Commons: Johnson solids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Johnson Solid. In: MathWorld (englisch).
Johnson Solid (mit diversen Grafiken, englisch, archiviert)

Einzelnachweise