Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annullator (oder auch Annihilator) bezeichnet werden.

Annullator im Kontext von Formen

Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

Definition

Sei <math>V</math> ein Vektorraum, <math>V^*</math> der zugehörige Dualraum und <math>S</math> eine Teilmenge von <math>V</math>. Dann heißt

<math>S^0=\lbrace f\in V^*\mid f(x)= 0 \text{ für alle } x \in S \rbrace \subseteq V^*</math>

der Annullator von <math>S</math>.

Eigenschaften des Annullators

<math>S^0</math> ist ein Untervektorraum des Dualraums <math>V^*</math>. Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
<math>S^0=\langle S\rangle^0</math>, wobei <math>\langle S\rangle</math> der von <math>S</math> erzeugte Unterraum ist.
Ist <math>S_1\subseteq S_2</math>, so ist <math>S_1^0\supseteq S_2^0</math>.
Ist <math>V</math> endlichdimensional und <math>U</math> ein Unterraum von <math>V</math>, so gilt <math>\dim U^0 = \dim V - \dim U</math>. In diesem Fall sind <math>V</math> und der Bidualraum <math>V^{**}</math> kanonisch isomorph und es gilt <math>\left(U^0\right)^0 = U</math>, wobei <math>V</math> und <math>V^{**}</math> miteinander identifiziert worden sind.

Annullator eines Moduls

Es sei <math>R</math> ein Ring und <math>M</math> ein <math>R</math>-Linksmodul. Dann ist der Annullator von <math>M</math>

<math>\operatorname{Ann} M = \{r\in R \mid rm = 0 \text{ für alle } m\in M\}.</math>

Man kann den Annullator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

<math>R\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}M, r \mapsto \ell_r</math>, wobei <math>\ell_r\colon M\to M</math> die Linksmultiplikation mit <math>r</math> ist.

Der Annullator ist ein zweiseitiges Ideal in <math>R</math>.

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.