Algorithmische Zahlentheorie

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, welche wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist. Sie beschäftigt sich mit der Frage nach effizienten algorithmischen Lösungen für zahlentheoretische Fragestellungen.

Wichtigste Bereiche der elementaren algorithmischen Zahlentheorie sind

Primzahltests
Verfahren zur Faktorisierung einer ganzen Zahl
Berechnung des diskreten Logarithmus

Hierfür benötigt man weitere Verfahren, die ebenfalls untersucht werden:

schnelle Multiplikation
schnelles Potenzieren
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus
Berechnung des Jacobi-Symbols mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes
Faktorisierung von Polynomen, insbesondere auch schnelles Wurzelziehen.

Neue Forschungsergebnisse zur algorithmischen Zahlentheorie werden unter anderem auf der seit 1994 zweijährlich stattfindenden Konferenz ANTS (Algorithmic Number Theory Symposium) präsentiert.

Anwendungen

Die wichtigste Anwendung der algorithmischen Zahlentheorie ist die Kryptographie. Beispielsweise wird beim RSA-Verfahren ausgenutzt, dass die Primzahleigenschaft einer Zahl schnell überprüft werden kann, aber bislang keine ähnlich schnellen Verfahren bekannt sind, eine zusammengesetzte Zahl (das ist eine Zahl, die nicht prim ist), zu faktorisieren. Auf dieser Tatsache beruht insbesondere die Sicherheit der Datenübertragung im Internet. In diesem Zusammenhang hatte RSA Security größere Summen für diejenigen ausgelobt, denen es gelingt, bestimmte Zahlen zu faktorisieren<ref>siehe RSA Challenge</ref>. Weiter Anwendung in der Kryptographie finden Algorithmen etwa bei der Berechnung von diskreten Logarithmen für andere Verschlüsselungs- und Signaturverfahren.

Ein viel untersuchtes Problem mit weitreichenden Anwendungen ist es, in einem Zahlengitter eine das Gitter erzeugende Basis zu finden, die aus möglichst kurzen und möglichst orthogonalen Basisvektoren besteht (Gitterbasenreduktion).

Personen

Leonard Adleman
A. O. L. Atkin
Daniel Bernstein
Jonathan Borwein
Peter Borwein
Richard P. Brent
John Brillhart
Johannes Buchmann
Henri Cohen
Allan Joseph Champneys Cunningham
Noam Elkies
Maurice Kraitchik
Jeffrey Lagarias
Derrick Henry Lehmer<ref>Nr. 129 von Mathematics of Computation, Band 29, wurde Lehmer im Januar 1975 anlässlich seines 70. Geburtstags gewidmet.</ref><ref>Nr. 203 von Mathematics of Computation, Band 61, wurde im Juli 1993 dem Gedenken an Lehmer gewidmet.</ref>
Emma Lehmer
Arjen Lenstra
Hendrik Lenstra (Jr.)<ref>Anlässlich der Verabschiedung von Lenstra nach 17 Jahren an der Universität Berkeley fand im März 2003 eine wissenschaftliche Konferenz statt, das <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20030213043249

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Édouard Lucas
Mark S. Manasse
Preda Mihăilescu
Victor S. Miller
Peter Montgomery
François Morain
Andrew Odlyzko
Michael Pohst<ref>Heft 3 von Band 18 (2006) des Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux wurde Pohst anlässlich seines 60. Geburtstags gewidmet. <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20071009230555

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John M. Pollard
Carl Pomerance
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Richard Schroeppel
John L. Selfridge<ref>Band 12A (2012) der Zeitschrift Integers für kombinatorische Zahlentheorie und additive Kombinatorik ([1]) erschien als John Selfridge Memorial Volume.</ref>
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Herman te Riele
Samuel Wagstaff
Hugh C. Williams<ref>Zum 60. Geburtstag von Williams wurde 2003 in Banff (Canada) ihm zu Ehren eine wissenschaftliche Konferenz ausgerichtet (siehe Literatur). Fields Institute - Conference in Number Theory - 2003, <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20200724194350

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            }} 
       }}
  }}</ref>

Literatur

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- Vgl. auch das zugehörige Programm ARIBAS
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Victor Shoup: A computational introduction to number theory and algebra. Cambridge 2005, 2008, ISBN 0-521-85154-8.<ref>{{#if:Vorlage:Cite book/URL|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:{{#if:

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David Bressoud, Stan Wagon: A course in computational number theory. John Wiley 2008, ISBN 0-470-41215-1.
Harold M. Edwards: Higher Arithmetic: An algorithmic introduction to number theory. Student Mathematical Library vol. 45, American Mathematical Society 2008, ISBN 0-8218-4439-3.
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Weblinks

7th Algorithmic Number Theory Symposium – Webauftritt zur Konferenz 2006
History of ANTS – Übersicht der bisher stattgefundenen ANTS-Konferenzen
H. Lenstra, C. Pomerance, J. Pila: Future directions in algorithmic number theory. Workshop at the American Institute of Mathematics, Palo Alto 2003.
Joseph P. Buhler, Peter Stevenhagen (Hrsg.): Algorithmic Number Theory, MSRI Publications Vol. 44, Cambridge University Press 2008, ISBN 978-0-521-80854-5.

Einzelnachweise

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