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Alexandroff-Kompaktifizierung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) eine Einbettung eines nicht kompakten topologischen Raumes in einen kompakten topologischen Raum durch Hinzunahme eines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung ist nach dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er und Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, dass sich die aus der Funktionentheorie stammende Konstruktion der riemannschen Zahlenkugel zu dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt.<ref name="alexandroff" /><ref name="tietze" /> Sie ist für lokalkompakte Hausdorff-Räume bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmt.

Definition

Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum und <math>\infty</math> ein Element, das nicht aus <math>X</math> stammt. Zudem sei die Menge <math>X^* := X \cup \{\infty\}</math> mit der Topologie

<math>\mathcal{T}^*
= \mathcal{T} \cup \{X^* \setminus A \mid A \subseteq X, A \text{ ist abgeschlossen und kompakt in } (X,\mathcal{T})\}</math>

ausgestattet. Dann ist <math>(X^*,\mathcal{T}^*)</math> ein kompakter Raum, der <math>(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}^*_{X^*})</math> als offenen Teilraum enthält. Die Kompaktifizierung ist durch die kanonische Injektion

<math>\iota \colon X \to X^*, \quad \iota(x) := x</math>

gegeben.<ref name="bartsch" /> Oft nennt man anstelle von <math>\iota</math> auch den Raum <math>(X^*,\mathcal{T}^*)</math> die Alexandroff-Kompaktifizierung von <math>(X,\mathcal{T})</math>, vorausgesetzt es handelt sich bei <math>X</math> um eine dichte Teilmenge von <math>X^*</math>.

Der Punkt <math>\infty</math> wird zuweilen auch als unendlich fern<ref name="boto" /> bezeichnet.

Eigenschaften

Obige Konstruktion existiert für beliebige topologische Räume <math>(X,\mathcal{T})</math>. Sie liefert jedoch nur für Räume, die selbst noch nicht kompakt sind, tatsächlich eine Kompaktifizierung: Ist <math>(X^*,\mathcal{T}^*)</math> der nach der vorangehenden Definition gebildete topologische Raum, so ist die Einpunktmenge <math>\{\infty\}</math> offen, falls man <math>X</math> als kompakt voraussetzt. In diesem Fall liegt <math>X = \iota(X)</math> nicht dicht in <math>X^*</math> und die Injektion <math>\iota</math> liefert folglich keine Kompaktifizierung.

Es ist von Vorteil, wenn eine Kompaktifizierung die Trennungseigenschaften eines topologischen Raumes erhält. So erhält die Alexandroff-Kompaktifizierung z. B. das T1-Axiom.<ref name="counterex" /> Die Hausdorff-Eigenschaft wird jedoch nur erhalten, wenn zusätzlich <math>(X,\mathcal{T})</math> als lokalkompakt vorausgesetzt ist. Dann ist aber die Alexandroff-Kompaktifizierung im folgenden Sinne eindeutig bestimmt:

Seien <math>(X_1,\mathcal{T}_1)</math> und <math>(X_2,\mathcal{T}_2)</math> kompakte Hausdorff-Räume und zudem <math>(X,\mathcal{T})</math> ein (lokalkompakter) Teilraum derselben, wobei <math>X_1 \setminus X = \{\infty_1\}</math> und <math>X_2 \setminus X = \{\infty_2\}</math> gelte, so sind <math>(X_1,\mathcal{T}_1)</math> und <math>(X_2,\mathcal{T}_2)</math> homöomorph.

Beispiele

  • Die projektive Erweiterung der reellen Zahlen <math>\mathbb{R^*} := \mathbb{R} \cup \{\infty\}</math> ist, zusammen mit der entsprechend erweiterten Topologie, eine Alexandroff-Kompaktifizierung des lokalkompakten Raumes der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie <math>\mathbb{R}</math>. Sie ist homöomorph zur Kreislinie <math>\mathbb{S}^1</math>.
  • Die riemannsche Zahlenkugel <math>\mathbb{C^*} := \mathbb{C} \cup \{\infty\}</math> ist, ähnlich zum vorangehenden Beispiel, eine Alexandroff-Kompaktifizierung, durch welche man eine Homöomorphie zur Sphäre <math>\mathbb{S}^2</math> erhält.<ref name="munkres" />
  • Allgemeiner ist für ein <math>n \in \mathbb{N}</math> die Alexandroff-Kompaktifizierung von <math>\mathbb{R}^n</math> mit euklidischer Topologie homöomorph zur Einheitssphäre <math>\mathbb{S}^n</math>.<ref name="führer" />
  • Ist <math>X</math> ein nicht kompakter aber lokalkompakter Hausdorff-Raum, so ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen auf seiner Alexandroff-Kompaktifizierung <math>C(X^*)</math> isomorph zur Algebra <math>\widetilde{C_0(X)}</math> der stetigen Funktionen auf <math>X</math>, die im Unendlichen verschwinden, nach Adjunktion eines Einselementes.<ref name="books-Sp5uwaZsQLAC-">Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer Science & Business Media, 2008, ISBN 978-0-387-72476-8 ({{#if: Sp5uwaZsQLAC

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  • Die Alexandroff-Kompaktifizierung eines unendlichen diskreten Raums nennt man auch Fort-Raum, in diesem Artikel finden sich weitere Eigenschaften dieses Spezialfalls.

Mehrpunkt-Kompaktifizierungen

Bettet man einen topologischen Raum in einen kompakten Raum ein, der endlich viele Punkte mehr enthält, so spricht man von einer Mehrpunkt-Kompaktifizierung oder im Falle von <math>N</math> zusätzlichen Punkten auch von einer <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung.<ref name="magill" /> Diese Idee lässt sich weiter zu abzählbaren Kompaktifizierungen verallgemeinern.<ref name="magill2" />

Definition

Sei <math>N \in \mathbb{N}, N \geq 1</math> und <math>(X, \tau)</math> ein topologischer Raum und <math>(Y,\sigma)</math> ein kompakter Raum. Eine Kompaktifizierung

<math>\iota \colon X \to Y</math>

heißt <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung von <math>X</math>, falls

<math>|Y \setminus X| = N</math>

gilt.

Eigenschaften

Für topologische Räume <math>(X, \tau)</math> sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:<ref name="magill" />

  • Der Raum <math>X</math> besitzt eine <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung <math>(Y, \sigma)</math> mit Hausdorff-Eigenschaft.
  • Der Raum <math>X</math> ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und es existieren eine <math>N</math>-elementige Familie <math>(V_i)_{i = 1,\dots,n}</math> nichtleerer paarweise disjunkte Teilmengen <math>V_1,\dots,V_N \in \tau</math>, sodass einerseits
<math>K:= X \setminus (V_1 \cup \cdots \cup V_N)</math>
kompakt ist und andererseits für jedes <math>k = 1,\dots,N</math> die Menge
<math>X \setminus (V_1 \cup \cdots V_{k-1} \cup V_{k + 1} \cup \cdots V_N) = K \cup V_k</math>
nicht mehr kompakt ist.

Falls <math>X</math> eine <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung besitzt, so besitzt <math>X</math> insbesondere auch eine <math>M</math>-Punkt-Kompaktifizierung für alle <math>M < N</math>.

Eine <math>N</math>-elementige Familie <math>(V_i)_{i = 1,\dots,N}</math> im Sinne obiger Charakterisierung nennt man auch einen <math>N</math>-Stern. Jeder <math>N</math>-Stern gibt Anlass zu einer <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung. Auf der Menge aller <math>N</math>-Sterne lässt sich wie folgt eine Äquivalenzrelation definieren:

Zwei <math>N</math>-Sterne <math>(V_i)_{i = 1,\dots,N}</math> und <math>(W_i)_{i = 1,\dots,N}</math> heißen äquivalent, falls
<math> \big(X \setminus (V_1 \cup \cdots \cup V_N) \big) \cap \big(X \setminus W_k \big)</math>
kompakt ist, für alle <math>k = 1,\dots,N</math>.

Es existiert eine 1-zu-1 Beziehung zwischen Äquivalenzklassen von <math>N</math>-Sternen und <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierungen.

Beispiele

  • Die affine Erweiterung der reellen Zahlen <math>[-\infty, \infty]</math> ist gerade die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von <math>\mathbb{R}</math>.<ref name="books-o485AAAAIAAJ-154">K. G. Binmore: The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction. Cambridge University Press, 1980, ISBN 978-0-521-29930-5, S. 154 ({{#if: o485AAAAIAAJ

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  • Die komplexen Zahlen und allgemeiner der euklidische <math>\mathbb{R}^n</math> mit <math> n > 1</math> besitzen keine <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung für <math>N > 1</math>.
  • Für jede natürliche Zahl <math>N > 0</math> existiert ein topologischer Raum, welcher eine <math>N</math>-Punkt-Kompaktifizierung aber keine <math>M</math>-Punkt-Kompaktifizierung für <math>M > N</math> besitzt:
Man betrachte dazu die Strahlen
<math>L_n := \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x \cdot n^{-1},\; x \geq 0 \big\}, \quad n = 1,\dots,N</math>,
und deren Vereinigung
<math>S_N := \bigcup_{n = 1}^N L_n</math>
als topologischen Raum mit Teilraumtopologie. Für <math>K = \{(0,0)\}</math> gilt dann
<math>S_N \setminus K = \bigcup_{n = 1}^N \big(L_n \setminus K\big)</math>
und <math>K \cup (L_k \setminus K)</math> ist für kein <math>k = 1,\dots,N</math> kompakt.

Siehe auch

Literatur

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Weblinks

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Einzelnachweise

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Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 110 ({{#if: MDAlBgAAQBAJ | {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: MDAlBgAAQBAJ ||1}} | <0|&pg={{#if:|RA{{{Band}}}-}}PA110|&pg=110}}{{#if:|&q=}}#v=onepage|{{#if:|&pg=|}}{{#if:|&q=}}}}{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}|{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}}} {{#if:|{{#invoke:WLink|getEscapedTitle|{{{Linktext}}}}}|eingeschränkte Vorschau}}{{#if:|| in der Google-Buchsuche}}{{#ifeq:|US|-USA}}{{#if: MDAlBgAAQBAJ |{{#invoke: Vorlage:GoogleBook|fine |id=MDAlBgAAQBAJ |errN=Parameter „BuchID“ hat falsche Länge |errC=Parameter „BuchID“ enthält ungültige Zeichen |errH=# in der „BuchID“ |errP=Parameterzuweisungen in der „BuchID“ |class=editoronly |cat={{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch}} }} | Es darf nur genau einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. 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