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Abklingkonstante – Wikipedia Zum Inhalt springen

Abklingkonstante

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Abklingkoeffizient)
Datei:Damped oscillation graph2.svgDatei:Damped spring.gif
Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe <math>x(t)</math>
bei einer freien gedämpften Schwingung.

Die Abklingkonstante, auch Dämpfungskonstante oder Abklingkoeffizient,<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Eintrag IEV 103-05-24|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Eintrag IEV 103-05-24}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www2.dke.de/de/Online-Service/DKE-IEV/Seiten/IEV-Woerterbuch.aspx%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Eintrag IEV 103-05-24}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www2.dke.de/de/Online-Service/DKE-IEV/Seiten/IEV-Woerterbuch.aspx}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Eintrag IEV 103-05-24}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:DKE-IEV Deutsche Online-Ausgabe des IEVDeutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE2009-12{{#if: 2020-12-20 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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<math>\delta = \omega_0 \cdot D \quad \text{mit} \quad \left | D \right | < 1</math>

Der Zeitverlauf einer linearen Schwingung kann durch die Gleichung:

<math>

x(t)=x_0\,e^{-\delta t}\sin(\omega_d\, t+ \varphi_0) \quad \text{mit} \quad \omega_d = \omega_0 \, \sqrt {1 - D^2}</math>

beschrieben werden. Bei positivem Vorzeichen der Abklingkonstanten klingt die Schwingung ab, bei negativem Vorzeichen nimmt die Amplitude der Schwingung exponentiell zu.

Bei einer gedämpften Schwingung (<math>\delta > 0</math>) ist die Amplitude etwa nach der Zeit <math>t_\text{ü} = \frac{3}{\delta}</math> auf unter 5 % der Ausgangsamplitude abgeklungen.

Bei gemessenen Sprungantworten beliebiger Schwingungssysteme kann die Abklingkonstante näherungsweise aus dem logarithmischen Dekrement <math>\Lambda</math> und der Periodendauer <math>T_\mathrm{d}</math> berechnet werden.

<math>\delta = \frac{\Lambda}{T_\mathrm{d}}</math>

Das logarithmische Dekrement berechnet sich aus zwei Amplituden, die um die Schwingungsdauer entfernt liegen. Bei linearen Systemen reichen zwei Amplituden aus. Bei schwach nichtlinearen Systemen sollte über mehrere logarithmische Dekremente gemittelt werden. Bei stark nichtlinearen System ist es besser die Zeit zu ermitteln, bis die Amplitude in einen Streifen um ± 5 Prozent des Stationärwerts eingetreten ist.<ref name="Föllinger" />

<math>

\Lambda = \ln\frac {A(t)} {A(t+T_\mathrm{d})} </math>

Systeme mit PT1-Verhalten, z. B. die Hintereinanderschaltung einer Feder und eines Dämpfers werden durch die Differentialgleichung

<math>

T_1\cdot \dot y(t) + y(t) = x(t) </math> beschrieben. Die Zeitkonstante <math>T_1</math> ist der Kehrwert der Abklingkonstanten.

Siehe auch

Literatur

  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Einzelnachweise

<references> <ref name="Föllinger"> Otto Föllinger: Regelungstechnik. 6. verbesserte Auflage. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8 </ref> </references>

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