FitzHugh-Nagumo-Modell
Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (1922–2007)<ref>User:Richard FitzHugh - Scholarpedia. Archiviert vom Vorlage:IconExternal am 3. April 2022; abgerufen am 10. Oktober 2025 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref> und Jinichi Nagumo, die das Modell unabhängig voneinander entwickelten) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, zum Beispiel eines Neurons oder Axons. Wenn die äußere Anregung <math> I_{\rm ext} </math> einen Schwellenwert überschreitet, führt das System eine charakteristische Exkursion im <math>(v,w)</math>-Phasenraum aus, bevor die Variablen <math>v</math> und <math>w</math> zu ihren Ruhewerten <math> (v_0,w_0) </math> zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung <math>v</math>) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom <math>I_{\rm ext}</math>.
Notation:
- <math>v</math> bezeichnet das Membranpotential
- <math>w</math> ist eine Erholungs-Variable, die einen zur Erholung nach der elektrischen Anregung notwendigen negativen Feedback mit linearer Dynamik beschreibt.
- <math>I_{\rm ext}</math> ist der externe Strom.
- <math>a,b</math> sind Konstanten.
Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten
- <math>\dot{v}=v-\frac{1}{3}v^3 - w + I_{\rm ext}</math>
- <math>\tau \dot{w} = v-a-b w</math>
Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt <math> (v_0,w_0) </math> (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der <math>\dot{v}</math>- und der <math>\dot{w}</math>-Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt (<math> I_{\rm ext} \neq 0 </math>), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen <math> \tau \gg 1 </math> gilt <math> \dot{v} \gg \dot{w} </math>. Sobald die Trajektorie die kubische <math>\dot{v}</math>-Nullkline erreicht, sinkt <math> \dot{v} </math> rapide und die Trajektorie folgt der <math>\dot{v}</math>-Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der <math>\dot{v}</math>-Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der <math>\dot{v}</math>-Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.
Das FitzHugh-Nagumo-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet, ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den Van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für <math> a=b=0 </math> enthält.
Literatur
- R. FitzHugh: Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, Band 17, 1955, S. 257–278
- R. FitzHugh: Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J., Band 1, 1961, S. 445–466
- R. FitzHugh: Mathematical models of excitation and propagation in nerve, in: H.P. Schwan, Hrsg., Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y. 1969, S. 1–85 (Kapitel 1)
- J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa: An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE., Band 50, 1962, S. 2061–2070.
- Eugene Izhikevich, Richard Fitzhugh: FitzHugh-Nagumo model, Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben), 2006
Weblinks
- Artikel. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben) von Eugene Izhikevich, Richard Fitzhugh 2006, Archivlink abgerufen am 11. Oktober 2025.
Einzelnachweise
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