Faktorisierung

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Vorlage:Hinweisbaustein Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines mathematischen Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Das heißt, ein Objekt <math>X</math> wird als Verknüpfung von (in der Regel einfacheren) Objekten dargestellt:

<math>X = a_1 * a_2 * \cdots * a_n</math>

wobei <math>*</math> eine geeignete Verknüpfung in der jeweiligen algebraischen Struktur <math>(A,*)</math> bezeichnet. Ein Beispiel ist die Faktorisierung in der multiplikativen Struktur der natürlichen Zahlen <math>(\mathbb{N},\cdot)</math> wie zum Beispiel

Anwendungsbeispiele

Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
Anwendung bei Matrizen:
- Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnen.
- Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung, die normalerweise mittels Householdertransformationen oder Givens-Rotationen gewonnen werden kann.
- In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization betrachtet, um Matrizen in zwei Cluster- bzw. Konzeptmatrizen zu zerlegen.
Abstrakter versucht man die Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch Operator-Ringe sein.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden, da die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman.
Die logische Faktorisierung einer Proposition <math>A</math> in Bezug auf eine andere Proposition <math>B</math>:<ref>Karl Popper, David Miller: A proof of the impossibility of inductive probability, in: Nature 302 (1983), 687f.</ref>

<math> A = (B \rightarrow A) \land (A \lor B) </math>

In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen <math>G</math> in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten <math>x</math> nur eine bestimmte Anzahl <math>a</math> von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als <math>a</math>-Faktoren, z. B. 1-Faktoren. Siehe Artikel Faktor (Graphentheorie).

Einzelnachweise