Eisensteinreihe
Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.
Holomorphe Eisensteinreihen
Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter
Seien <math>\omega_1,\omega_2\in\mathbb C\setminus \{0\}</math> zwei komplexe Zahlen mit <math>\frac{\omega_1}{\omega_2}\not\in\mathbb R</math>. Das von <math>\omega_1</math> und <math>\omega_2</math> erzeugte Gitter <math>\Omega\subset \mathbb{C}</math> ist
- <math>\Omega:=\left\{\omega=a\omega_1+b\omega_2: a,b\in\mathbb Z\right\}</math>.
Die Eisensteinreihe vom Gewicht <math>k</math> zum Gitter <math>\Omega</math> in <math>\mathbb{C}</math> ist die unendliche Reihe der Form
- <math>G_k(\Omega):=\sum_{0\not=\omega\in\Omega} \omega^{-k}</math>.
Diese Reihen sind absolut konvergent für <math>k\ge3</math>; für ungerades <math> k</math> ist <math>G_k(\Omega)=0</math>.
Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene
Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form <math>\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau</math> mit <math>\tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}z>0\}</math> beschränken, denn für ein Gitter <math>\Omega</math> mit Basis <math>(\omega_1,\omega_2)</math> gilt stets:
- <math>G_k(\Omega)=G_k(\omega_1,\omega_2)=\omega_2^{-k}G_k\left(\frac{\omega_1}{\omega_2},1\right)</math>,
und da die Basis so gewählt werden kann, dass <math>\frac{\omega_1}{\omega_2}\in\mathbb{H}</math> gilt, kann man die Eisensteinreihen jedes Gitters berechnen, sobald man sie für diejenigen mit Basis <math>(\tau,1), \ \tau\in\mathbb{H}</math> kennt. Für letztere schreibt man auch abkürzend:
- <math>G_k(\tau):=G_k(\tau,1)=\sum_{(0,0)\not=(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^k}</math>.
Man kann die Eisensteinreihe <math>G_k</math> also als eine Funktion auf der oberen Halbebene auffassen.
Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze (<math> Im \, z \to \infty</math>).
Die Eisensteinreihe <math>G_k</math> ist eine Modulform vom Gewicht <math>k</math> zur Gruppe <math>\text{SL}_2(\mathbb{Z})</math>, das heißt für <math>a,b,c,d\in\mathbb Z</math> mit <math>ad-bc=1</math> gilt
- <math>G_k\!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=(c\tau+d)^kG_k(\tau).</math>
Für <math>k\ge8</math> sind die <math>G_k</math> Polynome mit rationalen Koeffizienten in <math>G_4</math> und <math>G_6</math>, d. h. <math>G_k\in\mathbb{Q}[G_4,G_6]</math>, es gilt die Rekursionsformel:
- <math>(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum_{p=2}^{n-2} (2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}</math>
Speziell für <math> n=4 </math> ergibt sich hieraus <math>7G_8=3G_4^2</math> und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz):
- <math>\sigma_7(m)=\sigma_3(m)+120\sum_{r,s\in\mathbb{N},r+s=m} \sigma_3(r)\sigma_3(s)</math>,
dabei ist die Teilerfunktion
- <math>\, \sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k</math>
die Summe der <math>k</math>-ten Potenzen der Teiler von <math> n </math>. Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.
Da in der Spitze für alle <math> n \geq 2 </math> gilt, dass <math> \lim_{Im(\tau) \to \infty} G_{2n}(\tau) = 2 \zeta(2n) </math>, folgt aus der Rekursionsformel, dass für alle <math> n \geq 4 </math> gilt:
- <math>(n-3)(2n+1)(2n-1)\zeta(2n)=6\sum_{p=2}^{n-2} (2p-1)(2n-2p-1)\zeta(2p)\zeta(2n-2p)</math><ref>Freitag, Busam, Funktionentheorie 1, 4. Aufl., S. 319</ref>
Fourierentwicklung
Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:
- <math>G_k(\tau)=2\zeta(k)+2\frac{(2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau}</math>,
dabei ist <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}</math> die Riemannsche Zetafunktion. Eine weitere übliche Darstellung ist die der normierten Eisensteinreihe
- <math>G_k^*(\tau)= \frac{1}{2\zeta(k)}G_k(\tau)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{m=1}^{\infty} \sigma_{k-1}(m)e^{2\pi im\tau}.</math>
Dabei sind die <math>B_k</math> die Bernoulli-Zahlen. Diese Fourierreihe hat ausschließlich rationale Fourierkoeffizienten.
Bezug zu elliptischen Funktionen
Es sei <math>g_2=60G_4</math> und <math>g_3=140G_6</math>. Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter <math>\Omega</math> die Differentialgleichung
- <math>(\wp'(z))^2=4\wp(z)^3-g_2(\Omega)\wp(z)-g_3(\Omega).</math>
Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über <math>\mathbb C</math>
- <math>y^2=x^3+ax+b</math>
ein Gitter <math>\Omega</math> mit <math>a=15 G_4(\Omega)</math> und <math> b=35 G_6(\Omega)</math>. Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch
- <math>(x,y)=(\wp(z),\frac{1}{2}\wp'(z))</math>
mit <math>z\in\mathbb{C}/\Omega</math>. Insbesondere ist jede elliptische Kurve über <math>\mathbb C</math> homöomorph zu einem Torus <math>\mathbb{C}/\Omega</math>.
Literatur
- Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
- Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2
Einzelnachweise
<references />