Teilerfunktion

Die ersten Werte von σ₀ ... σ₄
n	=	σ₀(n)	σ₁(n)	σ₂(n)	σ₃(n)	σ₄(n)
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	2²	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2‧3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	2³	4	15	85	585	4369
9	3²	3	13	91	757	6643
10	2‧5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	2²‧3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2‧7	4	24	250	3096	40834
15	3‧5	4	24	260	3528	51332
16	2⁴	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2‧3²	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	2²‧5	6	42	546	9198	170898
21	3‧7	4	32	500	9632	196964
22	2‧11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	2³‧3	8	60	850	16380	358258
25	5²	3	31	651	15751	391251
26	2‧13	4	42	850	19782	485554
27	3³	4	40	820	20440	538084
28	2²‧7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2‧3‧5	8	72	1300	31752	872644

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Divisor Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref> Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben <math> \sigma </math> bezeichnet.

Definition

Für eine natürliche Zahl <math>n</math> ist definiert:

<math>\sigma_k(n) := \sum_{d|n}d^k</math>.

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von <math>n</math>, einschließlich <math>1</math> und <math>n</math>. Beispielsweise ist demnach <math>\sigma_2(6) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = 50.</math>

Spezialisierungen

<math>d := \sigma_0</math> ist die Teileranzahlfunktion,
<math>\sigma :=\sigma_1</math> ist die Teilersumme.

Eigenschaften

Datei:Sigma 1.svg

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₁

Datei:Sigma 2.svg

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₂

Datei:Sigma 3.svg

Werte und durchschnittliche Größenordnung von σ₃

<math>\sigma_k</math> ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde <math>n,m</math> gilt: <math>\sigma_k(n\cdot m) = \sigma_k(n)\cdot\sigma_k(m)</math>.
Hat <math>n</math> die Primfaktorzerlegung <math>n=\prod_{i=1}^r{p_i^{e_i}}</math>, so ist
- <math>\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{e_i}{p_i^{jk}}</math>,
- <math>\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1}</math> für <math>k>0</math>, und für <math>k=0</math> gilt: <math>\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r(e_i+1) </math>.
Die durchschnittliche Größenordnung von <math>\sigma_k</math> für <math>k > 0 </math> ist <math>\sigma_k(n) \sim \zeta(k+1)n^k</math>, mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta(s)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion <math>d(n) := \sigma_0(n) </math> ist <math>\ln n</math>. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten <math>C</math>

<math>\sum_{x\leq n} d(x) = n \ln n + (2C-1) n + O(\sqrt n)</math>.

Reihenformeln

Speziell für <math>\sigma_0</math> gilt:

<math> \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) = \sum_{i=1}^n \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor </math>

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als <math> \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor </math> schreibt: Wenn man nun <math>n</math> durch <math>n+1</math> substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die <math>n+1</math> teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)</math> für <math> s>1,\; s>a+1,</math>

was speziell für d(n) = σ₀(n) ergibt:

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s) </math> für <math> s>1</math>

und (S. 292, Satz 305)

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.</math>

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

<math>\sum_{n=1}^\infty\sigma_a(n) q^n = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty n^a q^{kn} = \sum_{n=1}^\infty n^a\frac{ q^n}{1-q^n}</math>

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für <math>k>0</math> mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.</math>

Die Berechnung der ersten Werte von <math>c_m(n)</math> zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ <math>\zeta(k+1)n^k</math>:

<math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]</math>

Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht <math> k\geq 4</math>, gerade, sind die Teilerfunktionen <math>\sigma_{k-1}</math>. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref>

<math>120 \sum_{m=1}^{n-1} \sigma_3(m)\sigma_3(n-m)=\sigma_7(n)-\sigma_3(n),</math>

<math>5040\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_5(n-m)=11\sigma_9(n)-21\sigma_5(n)+10\sigma_3(n).</math>

Siehe auch

Hochzusammengesetzte Zahl

Quellen