Spieker-Punkt

Datei:Spieker punkt.svg

Der Spieker-Punkt S des Dreiecks ABC

Als Spieker-Punkt oder Spieker-Zentrum eines Dreiecks bezeichnet man den Inkreismittelpunkt des zugehörigen Mittendreiecks. Man findet den Spieker-Punkt also dadurch, dass man die Mittelpunkte der Seiten des gegebenen Dreiecks miteinander verbindet und die Winkelhalbierenden dieses Mittendreiecks zum Schnitt bringt. Der Spieker-Punkt ist benannt nach dem Gymnasiallehrer Theodor Spieker (1823–1913).<ref>Jürgen Flachsmeyer; Rudolf Fritsch; Hans-Christian Reichel (Hrsg.): Mathematik-Interdisziplinär. (Memento vom 13. November 2013 im Internet Archive) (PDF; 177 kB)</ref>

Eigenschaften

• Der Spieker-Punkt eines Dreiecks stimmt mit dem Kanten-Schwerpunkt des zugehörigen Dreiecksumfangs überein, d. h. also beispielsweise dem Schwerpunkt eines Drahtmodells des Dreiecks.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt">Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 107. </ref>
• Der Spieker-Punkt liegt mit dem Inkreismittelpunkt, dem Schwerpunkt und dem Nagel-Punkt auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" /> Er halbiert die Verbindungsstrecke zwischen dem Inkreismittelpunkt und dem Nagel-Punkt.<ref name="ETC-X10">Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(10). Abgerufen am 23. Januar 2025 (). </ref>
• Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt von Höhenschnittpunkt und Bevan-Punkt.<ref name="ETC-X10" />
• Der Spieker-Punkt ist Mittelpunkt eines Kreises (engl. radical circle), der die drei Ankreise rechtwinklig schneidet.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" />
• Der Spieker-Punkt liegt auf der Kiepert-Hyperbel.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" />

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des Spieker-Punkts (<math>X_{10}</math>) sind (gleichwertig)

<math>bc (b+c) : ca (c+a) : ab (a+b)</math> oder

<math>\frac{\cos\beta + \cos\gamma}{1 - \cos\alpha} : \frac{\cos\gamma + \cos\alpha}{1 - \cos\beta} : \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{1 - \cos\gamma}</math>.<ref name="ETC-X10" />

Die baryzentrischen Koordinaten sind

<math>(b+c) : (c+a) : (a+b)</math>.<ref name="ETC-X10" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

Literatur

• Hans Walser: Symmetry. MAA, 2000, ISBN 978-0-88385-532-4, S. 36
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 226–227, 249 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Spieker Center. In: MathWorld (englisch).
• Der Spiekerpunkt als Schwerpunkt des Dreiecksumfangs auf www.schule-bw.de (Landesbildungsserver Baden-Württemberg)
• Spieker center – Illustration und Eigenschaften auf gogeometry.com (englisch)

Einzelnachweise

<references />