Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem mit Basis 10), teilbar ist.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha („Freude“) abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen auf einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb.<ref>József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 381 und 451, ehemals im Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 27. Mai 2018 ().@1@2Vorlage:Toter Link/nozdr.ru (Seite nicht mehr abrufbar. Suche im Internet Archive ) </ref>

Beispiele

777 ist durch seine Quersumme <math>7+7+7=21</math> teilbar und ist somit eine Harshad-Zahl: <math>777=21 \cdot 37</math>.

Die ersten Harshad-Zahlen (im Dezimalsystem) sind:

<math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100,\ldots</math> (Folge A005349 in OEIS)

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

<math>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3,\ldots</math> (Folge A144261 in OEIS)

d. h.: <math>\underline{1} \cdot 1=1, \underline{1} \cdot 2=2, \ldots, \underline{1} \cdot 10=10, \underline{10} \cdot 11=110, \underline{1} \cdot 12=12, \underline{9} \cdot 13=117, \ldots</math> sind Harshad-Zahlen

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> keine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

<math>11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4,\ldots</math> (Folge A144262 in OEIS)

d. h.: <math>\underline{11} \cdot 1=11, \underline{7} \cdot 2=14, \underline{5} \cdot 3=15, \underline{4} \cdot 4=16, \underline{3} \cdot 5=15, \underline{11} \cdot 6=66, \ldots</math> sind keine Harshad-Zahlen

n-Harshad-Zahlen

Harshad-Zahlen nennt man auch n-Harshad-Zahlen (oder n-Niven-Zahlen), wenn man sie in der Basis n betrachtet.

Die ersten n-Harshad-Zahlen in der Basis 12 sind (wobei mangels weiterer Ziffern <math>A</math> für 10 und <math>B</math> für 11 steht):

<math> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100,</math>

<math>10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, \ldots</math>

Beispiel:

<math>172</math> ist keine n-Harshad Zahl für die Basis 10:

<math>N=172</math> hat die Quersumme <math>1+7+2=10</math>, es ist aber <math>10</math> kein Teiler von <math>172</math>.

<math>172_{12}</math> ist aber eine n-Harshad Zahl für die Basis 12:

<math>N=172_{12}</math> ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{7} \cdot 12^1+\underline{2} \cdot 12^0=230</math>. Die Quersumme von <math>N=172_{12}</math> ist <math>1+7+2=A_{12}</math> (im Dezimalsystem also <math>10</math>). Es ist <math>A_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=172_{12}=A_{12} \cdot 1B_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>230=10 \cdot 23</math>).

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

<math> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16 \ldots</math>

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> keine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

<math> 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4 \ldots</math>

Eigenschaften

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

• Jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math>, wobei <math>n</math> eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist im Dezimalsystem eine Harshad-Zahl (lässt sich also durch ihre Quersumme teilen).

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

<math>\begin{align}

nnn & = n \cdot 10^2+n \cdot 10^1+n \cdot 10^0\\ & = n \cdot (100+10+1)\\

& = n \cdot 111 \\
& = n \cdot (3 \cdot 37) \\
& = (n \cdot 3) \cdot 37 \\

\end{align}</math>

Nun ist aber die Quersumme von <math>nnn\colon~ n+n+n = n\cdot3</math>.

Somit ist jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math> das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q. e. d.

• Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n-Harshad-Zahlen.
• Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad-Zahlen.<ref>Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 146–151, abgerufen am 28. Mai 2018 (). </ref><ref name="Sandor">József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 382, ehemals im Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 28. Mai 2018 ().@1@2Vorlage:Toter Link/nozdr.ru (Seite nicht mehr abrufbar. Suche im Internet Archive ) </ref>
• Im Dezimalsystem gibt es unendlich viele 20 aufeinander folgende Harshad-Zahlen. Die kleinste davon ist größer als <math>10^{44363342786}</math>.<ref>Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 148, abgerufen am 28. Mai 2018 (). </ref>

n	erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen (Folge A060159 in OEIS)<ref>primepuzzles.net: Problems & Puzzles: Puzzle 129. Abgerufen am 30. Mai 2018 (). </ref>
<math>1</math>	<math>12</math>
<math>2</math>	<math>20</math>
<math>3</math>	<math>110</math>
<math>4</math>	<math>510</math>
<math>5</math>	<math>131.052</math>
<math>6</math>	<math>12.751.220</math>
<math>7</math>	<math>10.000.095</math>
<math>8</math>	<math>2.162.049.150</math>
<math>9</math>	<math>124.324.220</math>
<math>10</math>	<math>1</math>
<math>11</math>	<math>920.067.411.130.599</math>
<math>12</math>	<math>43.494.229.746.440.272.890</math>
<math>13</math>	<math>121.003.242.000.074.550.107.423.034 \cdot 10^{20}-10</math>
<math>14</math>	<math>420.142.032.871.116.091.607.294 \cdot 10^{40}-4</math>
<math>15</math>	unbekannt
<math>16</math>	<math>50.757.686.696.033.684.694.106.416.498.959.861.492 \cdot 10^{280}-9</math>
<math>17</math>	<math>14.107.593.985.876.801.556.467.795.907.102.490.773.681 \cdot 10^{280}-10</math>
<math>18</math>	unbekannt
<math>19</math>	unbekannt
<math>20</math>	unbekannt

• Mit Basis n gibt es keine 2n+1 aufeinander folgende n-Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman">Helen G. Grundman: Sequences of consecutive n-Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 174–175, abgerufen am 28. Mai 2018 (). </ref>
• Mit Basis n gibt es unendlich viele 2n aufeinander folgende Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman" /><ref>Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 122–128, abgerufen am 28. Mai 2018 (). </ref>
• Sei <math>N(x)</math> die Anzahl der Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> und sei <math>\varepsilon >0</math>. Dann gilt:<ref name="Koninck">Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 431–440, abgerufen am 30. Mai 2018 (). </ref>

<math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

Beispiel:

Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad-Zahlen. Somit ist <math>x=100000</math> und <math>N(x)=11872</math>. Und tatsächlich gilt <math> x^{1-\varepsilon}=100000^{1-\varepsilon} \ll 100000^{1-0,185095}\approx N(x)=11872 \ll 21223,7 \approx \frac{100000 \cdot \log \log 100000}{\log 100000} = \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

<math>x</math> Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> <math>10</math> <math>10</math> <math>100</math> <math>33</math> <math>1000</math> <math>213</math>

<math>x</math> Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> <math>10^4</math> <math>1538</math> <math>10^5</math> <math>11872</math> <math>10^6</math> <math>95428</math>

<math>x</math> Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> <math>10^7</math> <math>806095</math> <math>10^8</math> <math>6954793</math> <math>10^9</math> <math>61574510</math>

Nivenmorphe Zahlen

Eine nivenmorphe Zahl (oder harshadmorphe Zahl) für eine Basis n ist eine ganze Zahl t, so dass eine Harshad-Zahl N existiert, dessen Quersumme t ist, und t, geschrieben in dieser Basis n, die Zahl N in dieser Basis n beschreibt.

Beispiel 1:

<math>18</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 10:

<math>N=16218</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=10). Die Quersumme von <math>16218</math> ist <math>1+6+2+1+8=18</math>. Es ist <math>18</math> tatsächlich ein Teiler von <math>16218=18 \cdot 901</math>.

Beispiel 2:

<math>18_{12}</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 12:

<math> N=1A0_{12}</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=12) und ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{10} \cdot 12^1+\underline{0} \cdot 12^0=264</math>. Die Quersumme von <math>N=1A0_{12}</math> ist <math>1+A+0=B_{12}</math> (im Dezimalsystem also 11). Es ist <math>B_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=1A0_{12}=B_{12} \cdot 20_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>264=11 \cdot 24</math>).

Die nächste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl (im Dezimalsystem) an, deren Quersumme n ist und die durch n teilbar ist (falls es keine solche Zahl gibt, wird 0 angegeben):

<math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928,</math>

<math>78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945,</math>

<math>4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, \ldots </math> (Folge A187924 in OEIS)

Zum Beispiel hat <math>289835</math> die Quersumme <math>2+8+9+8+3+5=35</math> und tatsächlich ist <math>35</math> ein Teiler von <math>289835=35 \cdot 8281</math>. Somit ist <math>35</math> eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10.

Eigenschaften:

• Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen, außer der Zahl 11.<ref>Sandro Boscaro: Nivenmorphic integers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 28, Nr. 3, 1996, S. 201–205. </ref>
• Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n, außer n+1.
• Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n.

Multiple Harshad-Zahlen

Eine multiple Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl, welche, durch seine Quersumme dividiert, wieder eine (andere) Harshad-Zahl ergibt.<ref>E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 34, Nr. 2, 2005, S. 128. </ref>

Beispiel 1: <math>6804</math> ist eine multiple Harshad-Zahl, weil <math>6804/18=378</math>, <math>378/18=21</math>, <math>21/3=7</math> und <math>7/7=1</math> ebenfalls Harshad-Zahlen sind. Man bezeichnet diese Zahl <math>6804</math> auch als MHN-4, man kann also vier (verschiedene) weitere Harshad-Zahlen daraus machen.

Beispiel 2: <math>2016502858579884466176</math> ist eine MHN-12, man kann also 12 verschiedene weitere Harshad-Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Quersummen (die erste Quersumme ist <math>108</math>) finden.

Beispiel 3: <math>10080000000000=1008 \cdot 10^{10}</math> ist eine weitere, kleinere MHN-12.

Beispiel 4: <math>1008 \cdot 10^n</math> ist eine MHN-(n+2).

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Glückliche Zahl
• Selbstbeschreibende Zahl

Literatur

• Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 31, 2, 1993, S. 146–151
• Helen G. Grundmann: Sequences of consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 32, 2, (1994), 174–175
• Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 35, 1997, S. 122–128
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. In: Fibonacci Quarterly, 41, 5, November 2003, S. 431–440
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, I. Katái: On the counting function for the Niven numbers. In: Acta Arithmetica, 106, 2003, S. 265–275
• Sandro Boscaro: Nivenmorphic Integers. In: Journal of Recreational Mathematics, 28, 3, 1996–1997, S. 201–205
• E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics, 34, 2, 2005, S. 128

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Harshad Number. In: MathWorld (englisch).
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 381–383, abgerufen am 27. Mai 2018 (). 
• Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 146–151, abgerufen am 28. Mai 2018 (). 
• Helen G. Grundman: Sequences of consecutive n-Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 174–175, abgerufen am 28. Mai 2018 (). 
• Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 122–128, abgerufen am 28. Mai 2018 (). 
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 431–440, abgerufen am 30. Mai 2018 (). 

Einzelnachweise

<references />