Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem mit Basis 10), teilbar ist.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha („Freude“) abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen auf einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:József Sándor, Borislav Crstici|József Sándor, Borislav Crstici: }}{{#if:|{{#if:Handbook of Number Theory II|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Handbook of Number Theory II}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.2%20(ISBN%201402025467)(Kluwer,%202004)(635s)_MT_.pdf#page=1&zoom=auto,-82,842%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C1}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Handbook of Number Theory II}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=ftp://nozdr.ru/biblio/kolxo3/M/MT/Sandor%20J.,%20Crstici%20B.%20Handbook%20of%20number%20theory,%20vol.2%20(ISBN%201402025467)(Kluwer,%202004)(635s)_MT_.pdf#page=1&zoom=auto,-82,842}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Handbook of Number Theory II}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:1Springer-Verlag381 und 451{{#if: 2018-05-27 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Beispiele

777 ist durch seine Quersumme <math>7+7+7=21</math> teilbar und ist somit eine Harshad-Zahl: <math>777=21 \cdot 37</math>.

Die ersten Harshad-Zahlen (im Dezimalsystem) sind:

<math>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100,\ldots</math> (Folge A005349 in OEIS)

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

<math>1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3,\ldots</math> (Folge A144261 in OEIS)

d. h.: <math>\underline{1} \cdot 1=1, \underline{1} \cdot 2=2, \ldots, \underline{1} \cdot 10=10, \underline{10} \cdot 11=110, \underline{1} \cdot 12=12, \underline{9} \cdot 13=117, \ldots</math> sind Harshad-Zahlen

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> keine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

<math>11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4,\ldots</math> (Folge A144262 in OEIS)

d. h.: <math>\underline{11} \cdot 1=11, \underline{7} \cdot 2=14, \underline{5} \cdot 3=15, \underline{4} \cdot 4=16, \underline{3} \cdot 5=15, \underline{11} \cdot 6=66, \ldots</math> sind keine Harshad-Zahlen

n-Harshad-Zahlen

Harshad-Zahlen nennt man auch n-Harshad-Zahlen (oder n-Niven-Zahlen), wenn man sie in der Basis n betrachtet.

Die ersten n-Harshad-Zahlen in der Basis 12 sind (wobei mangels weiterer Ziffern <math>A</math> für 10 und <math>B</math> für 11 steht):

<math>10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, \ldots</math>

Beispiel:

<math>172</math> ist keine n-Harshad Zahl für die Basis 10:

<math>N=172</math> hat die Quersumme <math>1+7+2=10</math>, es ist aber <math>10</math> kein Teiler von <math>172</math>.

<math>172_{12}</math> ist aber eine n-Harshad Zahl für die Basis 12:

<math>N=172_{12}</math> ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{7} \cdot 12^1+\underline{2} \cdot 12^0=230</math>. Die Quersumme von <math>N=172_{12}</math> ist <math>1+7+2=A_{12}</math> (im Dezimalsystem also <math>10</math>). Es ist <math>A_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=172_{12}=A_{12} \cdot 1B_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>230=10 \cdot 23</math>).

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

<math> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16 \ldots</math>

Die kleinsten <math>k</math>, sodass <math>k \cdot n</math> keine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

<math> 13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4 \ldots</math>

Eigenschaften

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

Jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math>, wobei <math>n</math> eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist im Dezimalsystem eine Harshad-Zahl (lässt sich also durch ihre Quersumme teilen).

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

<math>\begin{align}

nnn & = n \cdot 10^2+n \cdot 10^1+n \cdot 10^0\\ & = n \cdot (100+10+1)\\

& = n \cdot 111 \\
& = n \cdot (3 \cdot 37) \\
& = (n \cdot 3) \cdot 37 \\

\end{align}</math>

Nun ist aber die Quersumme von <math>nnn\colon~ n+n+n = n\cdot3</math>.

Somit ist jede natürliche Zahl der Form <math>nnn</math> das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q. e. d.

Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n-Harshad-Zahlen.
Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad-Zahlen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Curtis Cooper, Robert E. Kennedy|Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: }}{{#if:|{{#if:On consecutive Niven numbers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=On consecutive Niven numbers}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=On consecutive Niven numbers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=On consecutive Niven numbers}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Fibonacci Quarterly146–151{{#if: 2018-05-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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n	erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen (Folge A060159 in OEIS)<ref>{{#if:\|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\| \|}}}}{{#if:primepuzzles.net\|primepuzzles.net: }}{{#if:\|{{#if:Problems & Puzzles: Puzzle 129\|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|archivURL\|1={{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel=Problems & Puzzles: Puzzle 129}}]{{#if:\| ({{{format}}})}}{{#if:\| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel={{{titelerg}}}}}}}}}\|{{#if:https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_129.htm%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Problems & Puzzles: Puzzle 129}}}}\|[{{#invoke:URLutil\|getNormalized\|1=https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_129.htm}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{#invoke:WLink\|getEscapedTitle\|1=Problems & Puzzles: Puzzle 129}}}}]}}{{#if:\| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}	)	de	1}}}}\| ;	{{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|Endpunkt\|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_129.htm%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_129.htm}}	URL ungültig}}}}{{#if:Problems & Puzzles: Puzzle 129\|{{#if:{{#invoke:WLink\|isValidLinktext\|1=Problems & Puzzles: Puzzle 129\|lines=0}}	Linktext ungültig}}}}{{#if: \| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle\|TitelFormat\|titel={{{werk}}}}}}}{{#if: \| {{{hrsg}}}{{#if: \|,\|{{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| {{#if:{{#invoke:DateTime\|format\|{{{datum}}}\|noerror=1}}	format\|{{{datum}}}\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `datum={{{datum}}}`\|class=Zitationswartung}} }}{{#if: \|,\|{{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: \| S. {{{seiten}}}{{#if: \|,\|{{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|;\|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| {{#if:\|{{#if:\|archiviert\|ehemals}}\|{{#if:\|Archiviert\|Ehemals}}}} {{#if:\|vom\|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: \| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate\|Execute}}\|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}\|{{{archiv-datum}}}{{#if:370141	;}}}}{{#if: 2018-05-30\| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|abgerufen\|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str\|len\| {{#invoke:DateTime\|format\| 2018-05-30 \|ISO\|noerror=1}} }}	4=im Jahr	7=im	10=am	failure\|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, `abruf=2018-05-30`\|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime\|format\|2018-05-30\|T._Monat JJJJ}}	failure\|1=Vorlage:Internetquelle \| `abruf=`2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en\|de	1}}}}\|{{#if:{{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}	1}}}}	(	\| (}} }}{{#ifeq:{{#if:en\|en\|de}}\|de\|\| {{#invoke:Multilingual\|format\|en\|slang=!\|split=[%s,]+\|shift=m\|separator=, }}}}{{#if: \|{{#ifeq:{{#if:en\|en\|de}}\|de\|\|, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: {{#if: 2018-05-30 \| {{#if:{{#invoke:TemplUtl\|faculty\|}}\|\|1}} }}en\|{{#if: \|: {{ #if:	„{{ #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	Vorlage:Str trim	flat}} }}“	faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|{{#if: {{#invoke:templutl\|faculty\|}}\|de-ch\|de}}\|de}} \| de	„Vorlage:Str trim“	quote	1={{#if:	flat}}	flat}} }}	faculty\|}}\|de-CH\|de}}	3=1}} }} }}{{#if:	: }}{{#if: \| , deutsch: „“ }})	{{#if:	, deutsch: „“ }})	(deutsch: „“) }} }} }}{{#if: {{{zitat}}}	{{#if:	{{#if: {{{zitat}}}	Vorlage:": `Text=` und `1=` gleichzeitig, bzw. 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<math>18</math>	unbekannt
<math>19</math>	unbekannt
<math>20</math>	unbekannt

Vorlage:Klappleiste/Ende

Mit Basis n gibt es keine 2n+1 aufeinander folgende n-Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Helen G. Grundman|Helen G. Grundman: }}{{#if:|{{#if:Sequences of consecutive n-Niven numbers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Sequences of consecutive n-Niven numbers}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Sequences of consecutive n-Niven numbers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Sequences of consecutive n-Niven numbers}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Fibonacci Quarterly174–175{{#if: 2018-05-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Mit Basis n gibt es unendlich viele 2n aufeinander folgende Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).<ref name="Sandor" /><ref name="Grundman" /><ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Brad Wilson|Brad Wilson: }}{{#if:|{{#if:Construction of 2n consecutive n-Niven numbers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Construction of 2n consecutive n-Niven numbers}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.fq.math.ca/Scanned/35-2/wilson.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Construction of 2n consecutive n-Niven numbers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.fq.math.ca/Scanned/35-2/wilson.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Construction of 2n consecutive n-Niven numbers}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Fibonacci Quarterly122–128{{#if: 2018-05-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Sei <math>N(x)</math> die Anzahl der Harshad-Zahlen <math>\leq x</math> und sei <math>\varepsilon >0</math>. Dann gilt:<ref name="Koninck">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon|Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: }}{{#if:|{{#if:On the number of Niven numbers up to x|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=On the number of Niven numbers up to x}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.fq.math.ca/Scanned/41-5/dekoninck.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=On the number of Niven numbers up to x}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.fq.math.ca/Scanned/41-5/dekoninck.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=On the number of Niven numbers up to x}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Fibonacci Quarterly431–440{{#if: 2018-05-30 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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<math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

Beispiel:

Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad-Zahlen. Somit ist <math>x=100000</math> und <math>N(x)=11872</math>. Und tatsächlich gilt <math> x^{1-\varepsilon}=100000^{1-\varepsilon} \ll 100000^{1-0,185095}\approx N(x)=11872 \ll 21223,7 \approx \frac{100000 \cdot \log \log 100000}{\log 100000} = \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

Vorlage:Klappleiste/Anfang

<math>x</math>	Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
<math>10</math>	<math>10</math>
<math>100</math>	<math>33</math>
<math>1000</math>	<math>213</math>

<math>x</math>	Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
<math>10^4</math>	<math>1538</math>
<math>10^5</math>	<math>11872</math>
<math>10^6</math>	<math>95428</math>

<math>x</math>	Harshad-Zahlen <math>\leq x</math>
<math>10^7</math>	<math>806095</math>
<math>10^8</math>	<math>6954793</math>
<math>10^9</math>	<math>61574510</math>

Vorlage:Klappleiste/Ende

Nivenmorphe Zahlen

Eine nivenmorphe Zahl (oder harshadmorphe Zahl) für eine Basis n ist eine ganze Zahl t, so dass eine Harshad-Zahl N existiert, dessen Quersumme t ist, und t, geschrieben in dieser Basis n, die Zahl N in dieser Basis n beschreibt.

Beispiel 1:

<math>18</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 10:

<math>N=16218</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=10). Die Quersumme von <math>16218</math> ist <math>1+6+2+1+8=18</math>. Es ist <math>18</math> tatsächlich ein Teiler von <math>16218=18 \cdot 901</math>.

Beispiel 2:

<math>18_{12}</math> ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 12:

<math> N=1A0_{12}</math> ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=12) und ist im Dezimalsystem die Zahl <math>\underline{1} \cdot 12^2+\underline{10} \cdot 12^1+\underline{0} \cdot 12^0=264</math>. Die Quersumme von <math>N=1A0_{12}</math> ist <math>1+A+0=B_{12}</math> (im Dezimalsystem also 11). Es ist <math>B_{12}</math> tatsächlich ein Teiler von <math>N=1A0_{12}=B_{12} \cdot 20_{12}</math> (im Dezimalsystem <math>264=11 \cdot 24</math>).

Die nächste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl (im Dezimalsystem) an, deren Quersumme n ist und die durch n teilbar ist (falls es keine solche Zahl gibt, wird 0 angegeben):

<math>4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, \ldots </math> (Folge A187924 in OEIS)

Zum Beispiel hat <math>289835</math> die Quersumme <math>2+8+9+8+3+5=35</math> und tatsächlich ist <math>35</math> ein Teiler von <math>289835=35 \cdot 8281</math>. Somit ist <math>35</math> eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10.

Eigenschaften:

Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen, außer der Zahl 11.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n, außer n+1.
Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n.

Multiple Harshad-Zahlen

Eine multiple Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl, welche, durch seine Quersumme dividiert, wieder eine (andere) Harshad-Zahl ergibt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel 1: <math>6804</math> ist eine multiple Harshad-Zahl, weil <math>6804/18=378</math>, <math>378/18=21</math>, <math>21/3=7</math> und <math>7/7=1</math> ebenfalls Harshad-Zahlen sind. Man bezeichnet diese Zahl <math>6804</math> auch als MHN-4, man kann also vier (verschiedene) weitere Harshad-Zahlen daraus machen.

Beispiel 2: <math>2016502858579884466176</math> ist eine MHN-12, man kann also 12 verschiedene weitere Harshad-Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Quersummen (die erste Quersumme ist <math>108</math>) finden.

Beispiel 3: <math>10080000000000=1008 \cdot 10^{10}</math> ist eine weitere, kleinere MHN-12.

Beispiel 4: <math>1008 \cdot 10^n</math> ist eine MHN-(n+2).

Siehe auch

Literatur

Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 31, 2, 1993, S. 146–151
Helen G. Grundmann: Sequences of consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 32, 2, (1994), 174–175
Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 35, 1997, S. 122–128
Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. In: Fibonacci Quarterly, 41, 5, November 2003, S. 431–440
Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, I. Katái: On the counting function for the Niven numbers. In: Acta Arithmetica, 106, 2003, S. 265–275
Sandro Boscaro: Nivenmorphic Integers. In: Journal of Recreational Mathematics, 28, 3, 1996–1997, S. 201–205
E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics, 34, 2, 2005, S. 128

Weblinks

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Einzelnachweise