Hilberts Satz 90

Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen. Er wurde en passant bereits 1855 von Kummer bewiesen.<ref>Franz Lemmermeyer (2018): 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.</ref>

Ursprüngliche Fassung

Es sei <math>L/K</math> eine zyklische Galoiserweiterung und <math>\sigma</math> ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes <math>y\in L^\times</math> mit Norm <math>N_{L/K}(y)=1</math> von der Form

<math>y=\frac{\sigma x}x</math>

mit einem geeigneten <math>x\in L^\times</math>.

Anwendung auf Gaußsche Zahlen

Noam D. Elkies hat beschrieben,<ref>Noam David Elkies: Pythagorean triples and Hilbert’s Theorem 90. (1 S., harvard.edu [PDF; 59 kB; abgerufen am 20. November 2024]). </ref> dass „Hilbert 90“ im Falle <math>\Q[\mathrm{i}]/\Q</math> auf einfachste Weise mit der bekannten Parametrisierung der Pythagoreischen Tripel äquivalent ist.

Galoiskohomologische Fassung

<math>E</math> ist ein Körper, <math>E/F</math> eine galoissche Körpererweiterung und <math>G = \text{Gal}(E/F)</math>. Dann folgt für die Galoiskohomologie:

<math>H^1(G, E^\times) = 0</math>

Algebraisch-geometrische Fassung

Es sei <math>X</math> ein Schema. Dann ist

<math>\mathrm H^1_{\mathrm{\acute et}}(X,\mathbb G_{\mathrm m})=\mathrm{Pic}\,X.</math>

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Hilbert 90 für motivische Kohomologie

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von

<math>\mathrm H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{1-\sigma} H^1(Y,\mathbb G_{\mathrm m}) \to^{N_{X/Y}} H^1(X,\mathbb G_{\mathrm m})</math>

für zyklische Galoisüberlagerungen <math>Y/X</math> mit Erzeuger <math>\sigma</math>. Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

Literatur

David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. (PDF; 90 MB). In: Zahlbericht. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 4, S. 175–546, 1897, siehe S. 272.

Weblinks

Wikisource: Hilberts Satz 90. In: David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band – Quellen und Volltexte

Einzelnachweise