Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden <math>g</math> in der Ebene. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene

Spiegelungsgerade mit Neigungswinkel

Ist <math>g</math> eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha</math>, so ist die Spiegelung an <math>g</math> eine lineare Abbildung <math>\varphi_g</math>. Die darstellende Matrix <math>S_g</math> bezüglich der Standardbasis hat die Gestalt

<math>S_g =

\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}</math>.

Beispiel

Die <math>x</math>-Achse ist eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha = 0</math>. Also lautet die Matrix einer Spiegelung an der <math>x</math>-Achse

<math>S =

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>.

Herleitung

Datei:Spiegelungsmatrix.svg

Bilder der kanonischen Einheitsvektoren unter einer Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Neigungswinkel <math>\alpha</math>

Da die Spiegelung eine lineare Abbildung ist, genügt es, die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren <math display="inline">e_1 = \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right) </math> und <math>e_2 = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math> zu betrachten; diese bilden die Spalten der Spiegelungsmatrix. Eine Spiegelung von <math>e_1</math> an der Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha</math> entspricht einer Drehung von <math>e_1</math> um den Winkel <math>2 \alpha</math> gegen den Uhrzeigersinn (siehe Skizze). Also ist

<math>\varphi_g (e_1)=\begin{pmatrix} \cos 2\alpha \\ \sin 2\alpha \end{pmatrix}</math>.

Eine Spiegelung von <math>e_2</math> entspricht einer Drehung von <math>e_2</math> um den Winkel <math>2\alpha</math> und anschließender Umkehrung des Richtungssinns. Also ist

<math>\varphi_g (e_2)=\begin{pmatrix} \sin 2\alpha \\-\cos 2 \alpha \end{pmatrix}</math>.

Spiegelungsgerade in Normalenform

Datei:Householder-Matrix.svg

Spiegelung eines Vektors <math>x</math> an einer Geraden mit Einheitsnormalenvektor <math>n</math>

Ist <math>g</math> eine Gerade mit Normaleneinheitsvektor <math>n</math>, so hat die Spiegelungsmatrix die Gestalt

<math>S_g = I_2 - 2\, n n^T </math>,

wobei <math>I_2</math> die <math>(2 \times 2)</math>-Einheitsmatrix ist.

Beispiel

Die <math>x</math>-Achse hat den Normaleneinheitsvektor <math>e_2 = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math>. Es ist

<math>n n^T = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>

und somit

<math>S_g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} - 2\,\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>.

Herleitung

Ist <math>g</math> eine Gerade mit Einheitsnormale <math>n</math> und <math>x</math> ein Vektor, so ist <math>n^Tx</math> die Länge der Orthogonalprojektion von <math>x</math> auf <math>n</math>. Spiegelt man nun <math>x</math> an <math>g</math>, so gilt (siehe Abbildung)

<math>

\varphi_g (x)=x-2 n^Tx\cdot n =

            (I_2-2n^Tn) x

</math>. Also ist <math>S_g = I_2 - 2 \, n^Tn</math> die darstellende Matrix der Geraden <math>n^Tx=0</math>.

Spiegelung an einer beliebigen Geraden in der Ebene

Mithilfe dieser Spiegelungsmatrizen lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors <math>\vec v</math> an einer beliebigen Geraden <math>g = \vec a + r \cdot \vec u</math> mit Neigungswinkel <math>\alpha</math> darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Die allgemeine Spiegelung wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden <math>g^* = r \cdot \vec u</math> zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von <math>g</math> um <math>-\vec a</math> erreicht: <math>\vec v' = \vec v - \vec a</math>. Der Vektor <math>\vec v'</math> wird nun an <math>g^*</math> gespiegelt:

   <math>\vec q' = S_g(\vec v') = S_g(\vec v - \vec a)</math>

2. Verschiebung von <math>\vec q'</math> um den Stützvektor <math>\vec a</math> der Ausgangsgeraden <math>g</math>:

   <math>\vec q = \vec q' + \vec a</math>

Spiegelung an einer (Hyper-)Ebene durch den Ursprung

Für <math>n=3</math> stellt die Matrix

<math>S = I_3 - 2\,n n^T</math>

eine Spiegelung im <math>\mathbb R^3</math> dar, und zwar an der Ebene, die durch <math>n^T x = 0</math> beschrieben wird. Analog kann man

<math>y = (I_n - 2\,n n^T)\,x</math>

für <math>n>3</math> als „Spiegelung“ an der Hyperebene <math>n^T x = 0</math> im <math>\mathbb R^n</math> auffassen.<ref>Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure Band II. 11. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-19427-7, S. 310. </ref> Folglich lassen sich allgemein

<math>S=I_n - 2\,n n^T</math>

als Spiegelungsmatrizen auffassen. Diese Matrizen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Eigenschaften

Spiegelungsmatrizen sind orthogonal und symmetrisch<ref>Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43949-8, S. 231. </ref> und haben die Determinante −1.

Literatur

• Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X. 

Einzelnachweise

<references />