Spiegelungsmatrix
Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden <math>g</math> in der Ebene. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene
Spiegelungsgerade mit Neigungswinkel
Ist <math>g</math> eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha</math>, so ist die Spiegelung an <math>g</math> eine lineare Abbildung <math>\varphi_g</math>. Die darstellende Matrix <math>S_g</math> bezüglich der Standardbasis hat die Gestalt
- <math>S_g =
\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}</math>.
Beispiel
Die <math>x</math>-Achse ist eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha = 0</math>. Also lautet die Matrix einer Spiegelung an der <math>x</math>-Achse
- <math>S =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>.
Herleitung
Da die Spiegelung eine lineare Abbildung ist, genügt es, die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren <math display="inline">e_1 = \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right) </math> und <math>e_2 = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math> zu betrachten; diese bilden die Spalten der Spiegelungsmatrix. Eine Spiegelung von <math>e_1</math> an der Ursprungsgerade mit Neigungswinkel <math>\alpha</math> entspricht einer Drehung von <math>e_1</math> um den Winkel <math>2 \alpha</math> gegen den Uhrzeigersinn (siehe Skizze). Also ist
- <math>\varphi_g (e_1)=\begin{pmatrix} \cos 2\alpha \\ \sin 2\alpha \end{pmatrix}</math>.
Eine Spiegelung von <math>e_2</math> entspricht einer Drehung von <math>e_2</math> um den Winkel <math>2\alpha</math> und anschließender Umkehrung des Richtungssinns. Also ist
- <math>\varphi_g (e_2)=\begin{pmatrix} \sin 2\alpha \\-\cos 2 \alpha \end{pmatrix}</math>.
Spiegelungsgerade in Normalenform
Ist <math>g</math> eine Gerade mit Normaleneinheitsvektor <math>n</math>, so hat die Spiegelungsmatrix die Gestalt
- <math>S_g = I_2 - 2\, n n^T </math>,
wobei <math>I_2</math> die <math>(2 \times 2)</math>-Einheitsmatrix ist.
Beispiel
Die <math>x</math>-Achse hat den Normaleneinheitsvektor <math>e_2 = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)</math>. Es ist
- <math>n n^T = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
und somit
- <math>S_g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} - 2\,\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>.
Herleitung
Ist <math>g</math> eine Gerade mit Einheitsnormale <math>n</math> und <math>x</math> ein Vektor, so ist <math>n^Tx</math> die Länge der Orthogonalprojektion von <math>x</math> auf <math>n</math>. Spiegelt man nun <math>x</math> an <math>g</math>, so gilt (siehe Abbildung)
- <math>
\varphi_g (x)=x-2 n^Tx\cdot n =
(I_2-2n^Tn) x
</math>. Also ist <math>S_g = I_2 - 2 \, n^Tn</math> die darstellende Matrix der Geraden <math>n^Tx=0</math>.
Spiegelung an einer beliebigen Geraden in der Ebene
Mithilfe dieser Spiegelungsmatrizen lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors <math>\vec v</math> an einer beliebigen Geraden <math>g = \vec a + r \cdot \vec u</math> mit Neigungswinkel <math>\alpha</math> darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:
- Die allgemeine Spiegelung wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden <math>g^* = r \cdot \vec u</math> zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von <math>g</math> um <math>-\vec a</math> erreicht: <math>\vec v' = \vec v - \vec a</math>. Der Vektor <math>\vec v'</math> wird nun an <math>g^*</math> gespiegelt:
- <math>\vec q' = S_g(\vec v') = S_g(\vec v - \vec a)</math>
- Verschiebung von <math>\vec q'</math> um den Stützvektor <math>\vec a</math> der Ausgangsgeraden <math>g</math>:
- <math>\vec q = \vec q' + \vec a</math>
Spiegelung an einer (Hyper-)Ebene durch den Ursprung
Für <math>n=3</math> stellt die Matrix
- <math>S = I_3 - 2\,n n^T</math>
eine Spiegelung im <math>\mathbb R^3</math> dar, und zwar an der Ebene, die durch <math>n^T x = 0</math> beschrieben wird. Analog kann man
- <math>y = (I_n - 2\,n n^T)\,x</math>
für <math>n>3</math> als „Spiegelung“ an der Hyperebene <math>n^T x = 0</math> im <math>\mathbb R^n</math> auffassen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Folglich lassen sich allgemein
- <math>S=I_n - 2\,n n^T</math>
als Spiegelungsmatrizen auffassen. Diese Matrizen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.
Eigenschaften
Spiegelungsmatrizen sind orthogonal und symmetrisch<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und haben die Determinante −1.
Literatur
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Einzelnachweise
<references />