Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition

Seien <math> R </math> ein kommutativer Ring mit Eins und <math> G </math> ein Monoid, dann ist

<math>

R[G]:=\{\alpha\colon G\to R {\ \big |\ } \alpha(x)=0 \text{ für alle bis auf endlich viele } x \}\, </math> mit der Addition

<math> (\alpha + \beta)(x):=\alpha(x) + \beta(x) </math>

und der Faltung

<math> (\alpha\beta)(z):=\sum_{x y=z} {\alpha(x)\beta(y)} </math>

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt <math> a \cdot x </math> oder einfach <math> ax </math> für die Abbildung <math> \alpha \in R[G] </math>, die an der Stelle <math>x</math> den Wert <math>a</math> und ansonsten <math>0</math> annimmt. Beispielsweise gilt dann

<math>R[G]</math> besitzt ein Einselement, nämlich <math>1\cdot e</math>, wobei <math>1</math> das Einselement von <math>R</math> und <math>e</math> das Neutralelement von <math>G</math> ist.

Ist <math>G</math> eine Gruppe, so heißt <math>R[G]</math> Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise <math>RG</math> ist üblich.

<math>R[G]</math> wird zur <math>R</math>-Algebra via <math>r \sum_i r_i g_i := \sum_i r r_i g_i</math>

Eigenschaften

<math>R[G]</math> ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn <math>G</math> als Monoid kommutativ ist oder <math>R</math> der Nullring ist.
Jedes Element <math> \alpha \in R[G] </math> lässt sich eindeutig schreiben als <math> \alpha=\sum_{x\in G} a_x\cdot x </math> mit <math> a_x:=\alpha(x) </math>
Falls <math>R</math> nicht der Nullring ist, sind <math> R </math> und <math> G </math> auf natürliche Weise in <math> R[G] </math> eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen <math> f_0\colon R \to R[G],~f_0(r)=r\cdot e </math> und <math> f_1\colon G\to R[G],~f_1(x)=1\cdot x</math>, wobei <math> 1\cdot x</math> wie oben definiert ist.
Falls <math>R</math> der Nullring ist, dann ist <math>R[G]</math> isomorph zum Nullring
Falls <math>G</math> ein Monoid ist, <math>A, B</math> kommutative Ringe und <math> f\colon A\to B</math> ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus <math>h\colon A[G]\to B[G]</math>. sodass <math>h\left(\sum_{x\in G} a_x x\right)=\sum_{x\in G} f(a_x)x </math>

Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien <math>G</math> und <math>R</math> wie oben definiert. Es bezeichne <math>\mathbf{Mon}</math> die Kategorie der Monoide und <math>\mathbf{Alg_R}</math> die Kategorie der (assoziativen) <math>R</math>-Algebren. Sei <math>U\colon \mathbf{Alg_R} \to \mathbf{Mon}</math> der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder <math>R</math>-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung <math>\phi\colon G \to U(R[G]), g \mapsto 1g</math> universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus <math>f\colon G \to U(A)</math> in das multiplikative Monoid einer <math>R</math>-Algebra <math>A</math> haben, dann existiert genau ein <math>R</math>-Algebra-Homomorphismus <math>\bar f\colon R[G] \to A</math>, so dass <math>U(\bar f) \circ \phi = f</math>.

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht <math>\bar f</math> wie folgt aus: <math>\bar f \left(\sum_i r_i g_i\right) = \sum_i r_i f(g_i)</math>.

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über <math>R</math> zuordnet, mit <math>F</math> bezeichnen, ist also <math>F</math> linksadjungiert zu <math>U</math>. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele

<math>R[\N_0]</math> ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über <math>R</math>.
Ist allgemeiner <math>G</math> ein freies kommutatives Monoid in <math>n</math> Erzeugern, so ist <math>R[G]</math> isomorph zum Polynomring in <math>n</math> Unbestimmten über <math>R</math>.

Spezialfälle

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Es sei <math>G</math> eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist <math>G</math> nicht diskret, so enthält der Gruppenring <math>\mathbb C[G]</math> keine Information über die topologische Struktur von <math>G</math>. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei <math>\mu</math> ein linksinvariantes Haarmaß auf <math>G</math>, dann bildet der Raum <math>L^1(G,\mu)</math> mit der Faltung

<math>(f*g)(\sigma)=\int_G f(\tau)g(\tau^{-1}\sigma)\,\mathrm d\mu(\tau)</math>

als Produkt eine Banachalgebra.

Ist <math>A</math> ein Ring und <math>G</math> eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.

aus <math>\alpha<\beta</math> und <math>\gamma<\delta</math> folgt <math>\alpha\gamma<\beta\delta</math>,

so sei

<math>S(G,A)=\{f\colon G\to A\mid\operatorname{supp}f \text{ wohlgeordnet}\}</math>

mit <math>\operatorname{supp}f:=\{g\in G\mid f(g)\neq 0\}</math>. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird <math>S(G,A)</math> zu einem Ring. Ist <math>A</math> ein Körper, so ist <math>S(G,A)</math> ein Schiefkörper. Ist beispielsweise <math>G=\mathbb Z</math> mit der natürlichen Ordnung, so ist <math>S(G,A)</math> der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in <math>A</math>.

Literatur

Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)

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