Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion <math>L(x)</math> (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion<ref name="Brandt293"></ref> ist definiert durch

<math>L(x) = \coth(x)-{1 \over x}</math>,

wobei <math>\coth</math> den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter <math>\xi</math> eingeführt:

<math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B T}</math>

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

<math>m</math>: Magnetisches Moment eines Teilchens
<math>B</math>: Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
<math>k_\mathrm B</math>: Boltzmann-Konstante
<math>T</math>: Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung <math>M</math> eines Paramagneten ergibt sich dann:

<math>N</math> steht dabei für die Stoffmenge und <math>m</math> für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2x} {\pi^2 n^2+x^2} </math>

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2+1} = \frac{\pi L(\pi)}{2} </math>

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

<math> \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2 + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi L(\pi x)}{2x} = \frac{\pi^2}{6} </math>

Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty 2(-1)^{n+1}\pi^{-2n}\zeta(2n) x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

<math> L(x)^2 = \sum_{n=1}^\infty (4n+6)(-1)^{n+1}\pi^{-2n-2}\zeta(2n+2) x^{2n} = \frac{1}{9} x^2 - \frac{2}{135} x^4 + \frac{1}{525} x^6 - \frac{2}{8505} x^8 + \cdots </math>

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung<ref name="Brandt293" /> der Langevin-Funktion für <math>|x| \ll 1</math> ist

<math>L(x) = \coth(x)-\frac{1}{x} \approx \frac{x}{3}</math>.

Für <math>x \gg 1</math> gilt die Näherung<ref name="Brandt293" />

<math>L(x) \approx 1 - \frac{1}{x}</math>.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall <math>(-1, 1)</math> gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref>

<math>

  L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}
</math>

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt<ref>Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5, S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.)</ref> und hat den Konvergenzradius 1:

<math>

  L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx 3x + \frac{9}{5}x^3 + \frac{297}{175}x^5 + \frac{1539}{875}x^7 + \dotsb
</math>

Siehe auch

Einzelnachweise