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Langevin-Funktion

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Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion <math>L(x)</math> (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion<ref name="Brandt293">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> ist definiert durch

<math>L(x) = \coth(x)-{1 \over x}</math>,

wobei <math>\coth</math> den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter <math>\xi</math> eingeführt:

<math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B T}</math>

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

Für die Magnetisierung <math>M</math> eines Paramagneten ergibt sich dann:

<math>M = N m L(\xi)</math>

<math>N</math> steht dabei für die Stoffmenge und <math>m</math> für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2x} {\pi^2 n^2+x^2} </math>

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2+1} = \frac{\pi L(\pi)}{2} </math>

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

<math> \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^2 + x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi L(\pi x)}{2x} = \frac{\pi^2}{6} </math>

Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

<math> L(x) = \sum_{n=1}^\infty 2(-1)^{n+1}\pi^{-2n}\zeta(2n) x^{2n - 1} = \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \frac{1}{4725} x^7 + \cdots </math>

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

<math> L(x)^2 = \sum_{n=1}^\infty (4n+6)(-1)^{n+1}\pi^{-2n-2}\zeta(2n+2) x^{2n} = \frac{1}{9} x^2 - \frac{2}{135} x^4 + \frac{1}{525} x^6 - \frac{2}{8505} x^8 + \cdots </math>

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung<ref name="Brandt293" /> der Langevin-Funktion für <math>|x| \ll 1</math> ist

<math>L(x) = \coth(x)-\frac{1}{x} \approx \frac{x}{3}</math>.

Für <math>x \gg 1</math> gilt die Näherung<ref name="Brandt293" />

<math>L(x) \approx 1 - \frac{1}{x}</math>.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall <math>(-1, 1)</math> gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: 

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<math>
  L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}
</math>

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um <math>|x| = 0{,}8</math>. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.<ref name="Jedynak1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if: 

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  }}</ref>

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt<ref>Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5, S. 277 ({{#if: tpdwySsCfcEC | {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: tpdwySsCfcEC ||1}} | <0|&pg={{#if:|RA{{{Band}}}-}}PA277|&pg=277}}{{#if:|&q=}}#v=onepage|{{#if:|&pg=|}}{{#if:|&q=}}}}{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}|{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}}} {{#if:|{{#invoke:WLink|getEscapedTitle|{{{Linktext}}}}}|eingeschränkte Vorschau}}{{#if:|| in der Google-Buchsuche}}{{#ifeq:|US|-USA}}{{#if: tpdwySsCfcEC |{{#invoke: Vorlage:GoogleBook|fine |id=tpdwySsCfcEC |errN=Parameter „BuchID“ hat falsche Länge |errC=Parameter „BuchID“ enthält ungültige Zeichen |errH=# in der „BuchID“ |errP=Parameterzuweisungen in der „BuchID“ |class=editoronly |cat={{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch}} }} | Es darf nur genau einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}} | Es muss mindestens einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= |opt= Suchbegriff= BuchID= Seite= Band= SeitenID= Hervorhebung= Linktext= Land= KeinText= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch |format= }}{{#if:|{{#if:{{#invoke:WLink|isBracketedLink|{{{Linktext}}}}}|}}}})</ref> und hat den Konvergenzradius 1:

<math>
  L^{\langle -1 \rangle}(x) \approx 3x + \frac{9}{5}x^3 + \frac{297}{175}x^5 + \frac{1539}{875}x^7 + \dotsb
</math>

Siehe auch

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Langevin-Funktion&oldid=228381“