Legendre-Konstante
Die Funktion Vorlage:Farbe deutet eine Konvergenz gegen 1,08366 Vorlage:Farbe an ...
... die sich bei weiterer Betrachtung nicht so richtig bestätigen will.
| <math>n</math> | <math>\ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math> | <math>n</math> | <math>\ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math> | |
|---|---|---|---|---|
| 101 | −0,19741 | 1016 | 1,02966 | |
| 102 | 0,60517 | 1017 | 1,02776 | |
| 103 | 0,95537 | 1018 | 1,02609 | |
| 104 | 1,07364 | 1019 | 1,02460 | |
| 105 | 1,08757 | 1020 | 1,02328 | |
| 106 | 1,07633 | 1021 | 1,02209 | |
| 107 | 1,07098 | 1022 | 1,02102 | |
| 108 | 1,06395 | 1023 | 1,02005 | |
| 109 | 1,05663 | 1024 | 1,01916 | |
| 1010 | 1,05037 | 1025 | 1,01835 | |
| 1011 | 1,04513 | 1026 | 1,01761 | |
| 1012 | 1,04087 | 1027 | 1,01692 | |
| 1013 | 1,03735 | 1028 | 1,01629 | |
| 1014 | 1,03438 | 1029 | 1,01570 | |
| 1015 | 1,03184 | |||
Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798<ref name="L" /> von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl <math>n</math> sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.
Geschichte
Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:
- <math>\lim_{n \to \infty} \biggl(\!\ln n - \frac{n}{\pi(n)}\biggr) = B,</math>
dabei ist <math>\ln n</math> der natürliche Logarithmus von <math>n</math>, <math>\,\pi(n)</math> die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als <math>n</math> sind, und <math>B</math> die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst <math>n = 400.000</math> und später bis <math>n = 1.000.000</math>, auf etwa <math>1{,}08366</math> schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.
1849 bewies aber Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dass dieser Grenzwert <math>B</math>, sofern er existiert<ref>Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.</ref>, den Wert 1 haben muss. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.<ref>János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.</ref>
Auch eine Berechnung der Funktion für größere <math>n</math> zeigt, dass sie für größere <math>n</math> wieder fällt, sich zunehmend von <math>1{,}08366</math> entfernt und eher durch <math>1\! +\! \tfrac{1}{\ln n}</math> approximiert werden kann, was letztendlich gegen 1 konvergiert (siehe Tabelle rechts).
Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,<ref>La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899</ref>
- <math> \pi(x)={\rm Li} (x) + \mathcal{O}\!\left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{wenn } x \to \infty</math>
(für eine positive Konstante <math>a</math>, wobei <math>\mathcal{O}(\dotso)</math> das Landau-Symbol ist), dass <math>B</math> tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard<ref>Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Online ( vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)</ref> und Charles de La Vallée Poussin<ref>« Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361</ref> (ohne Restabschätzung) bewiesen.
Literatur und Quellen
<references> <ref name="L">Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)</ref> </references>
Weblink
- Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).