Legendre-Konstante

Datei:Legendre's constant.svg

<math>a_n = \ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math>, die ersten 100.000 Glieder der Folge:
Die Funktion Vorlage:Farbe deutet eine Konvergenz gegen 1,08366 Vorlage:Farbe an ...

Datei:Legendre's constant 10 000 000.svg

<math>a_n = \ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math>, die ersten 10 Millionen Glieder der Folge:
... die sich bei weiterer Betrachtung nicht so richtig bestätigen will.

Verlauf von <math>\ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math> bis <math>n = </math> 10²⁹
<math>n</math>	<math>\ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math>	<math>n</math>	<math>\ln n \!-\! \tfrac{n}{\pi(n)}</math>
10¹⁰	−0,19741	10¹⁶	1,02966
10²⁰	0,60517	10¹⁷	1,02776
10³⁰	0,95537	10¹⁸	1,02609
10⁴⁰	1,07364	10¹⁹	1,02460
10⁵⁰	1,08757	10²⁰	1,02328
10⁶⁰	1,07633	10²¹	1,02209
10⁷⁰	1,07098	10²²	1,02102
10⁸⁰	1,06395	10²³	1,02005
10⁹⁰	1,05663	10²⁴	1,01916
10¹⁰	1,05037	10²⁵	1,01835
10¹¹	1,04513	10²⁶	1,01761
10¹²	1,04087	10²⁷	1,01692
10¹³	1,03735	10²⁸	1,01629
10¹⁴	1,03438	10²⁹	1,01570
10¹⁵	1,03184

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798<ref name="L" /> von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl <math>n</math> sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Geschichte

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

<math>\lim_{n \to \infty} \biggl(\!\ln n - \frac{n}{\pi(n)}\biggr) = B,</math>

dabei ist <math>\ln n</math> der natürliche Logarithmus von <math>n</math>, <math>\,\pi(n)</math> die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als <math>n</math> sind, und <math>B</math> die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst <math>n = 400.000</math> und später bis <math>n = 1.000.000</math>, auf etwa <math>1{,}08366</math> schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

1849 bewies aber Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dass dieser Grenzwert <math>B</math>, sofern er existiert<ref>Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.</ref>, den Wert 1 haben muss. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.<ref>János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.</ref>

Auch eine Berechnung der Funktion für größere <math>n</math> zeigt, dass sie für größere <math>n</math> wieder fällt, sich zunehmend von <math>1{,}08366</math> entfernt und eher durch <math>1\! +\! \tfrac{1}{\ln n}</math> approximiert werden kann, was letztendlich gegen 1 konvergiert (siehe Tabelle rechts).

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,<ref>La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899</ref>

<math> \pi(x)={\rm Li} (x) + \mathcal{O}\!\left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\text{wenn } x \to \infty</math>

(für eine positive Konstante <math>a</math>, wobei <math>\mathcal{O}(\dotso)</math> das Landau-Symbol ist), dass <math>B</math> tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard<ref>Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20120717195014

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            }} 
       }}
  }}</ref> und Charles de La Vallée Poussin<ref>« Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361</ref> (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Literatur und Quellen

<references> <ref name="L">Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)</ref> </references>

Weblink

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}