Falksches Schema

Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der schriftlichen Matrizenmultiplikation bietet. Der linke Faktor, die <math>(m\times r)</math>-Matrix, wird links von der <math>(m\times n)</math>-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die <math>(r\times n)</math>-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die <math>i</math>-te Zeile des linken Multiplikanden und die <math>j</math>-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Beispiel

Gegeben sind die Matrizen

<math>

A = \left( \begin{array}{r}

   1 & 4 \\
   2 & 5 \\
   3 & -6
 \end{array} \right)

</math> und <math> B = \left( \begin{array}{r}

   -1 & 1  \\
    1 & -2 \\
 \end{array} \right)

</math> .

Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix <math>C=A\cdot B</math> wie folgt aus:

<math> \begin{array}{c} & \left( \begin{array}{r} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{r} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & -6 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{r} 3 & -7 \\ 3 & -8 \\ -9 & 15 \end{array} \right) \end{array} </math>

Hierbei steht die Produktmatrix <math>C</math> unten rechts.

Rechenweg

Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass <math>C</math> eine <math>(3 \times 2)</math>-Matrix sein muss.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4
2	2	5
3	3	−6

Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von <math>C</math> berechnet. Meist fängt man beim Eintrag <math>c_{11}</math>an. Hierzu wird die 1. Zeile von <math>A</math> mit der 1. Spalte von <math>B</math> „multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: <math>1 \cdot (-1) + 4 \cdot 1</math>. Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von <math>A</math> und der 1. Spalte von <math>B</math> eingetragen.

			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3
2	2	5
3	3	−6

Die erste Zeile von <math>A</math> wird mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{12}=-7</math>.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5
3	3	−6

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von <math>A</math> mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>3 \cdot 1 + (-6)\cdot(- 2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{32} = 15</math>.

			Spalte j
			1	2
			−1	1
Zeile i			1	−2
1	1	4	3	−7
2	2	5	3	−8
3	3	−6	−9	15

Literatur

• Sigurd Falk: Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation. In: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM). Band 31, Nr. 4–5, 1951, ISSN 0044-2267, S. 152–153, doi:10.1002/zamm.19510310409. 
• Rudolf Zurmühl: Matrizen und ihre technischen Anwendungen. Vierte neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S. 17 (XII, 452, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
• Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk: Matrizen und Ihre Anwendungen: Teil 1, Grundlagen. 7. Aufl., Nachdruck in veränd. Ausstattung. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2011, ISBN 978-3-642-17542-8, S. 17 (XIV, 496 S.). 
• Sascha Kurz, Jörg Rambau: Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-17-019882-1, S. 29–30. 
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 4. Auflage. Band 2. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-9730-5, S. 525–528. 
• Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

Weblinks

• Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
• Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022