Falksches Schema
Das Falksche Schema (benannt nach dem deutschen Ingenieur Sigurd Falk) ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der schriftlichen Matrizenmultiplikation bietet. Der linke Faktor, die <math>(m\times r)</math>-Matrix, wird links von der <math>(m\times n)</math>-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die <math>(r\times n)</math>-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die <math>i</math>-te Zeile des linken Multiplikanden und die <math>j</math>-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.
Beispiel
Gegeben sind die Matrizen
- <math>
A = \left( \begin{array}{r}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & -6
\end{array} \right)
</math> und <math> B = \left( \begin{array}{r}
-1 & 1 \\
1 & -2 \\
\end{array} \right)
</math> .
Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix <math>C=A\cdot B</math> wie folgt aus:
<math> \begin{array}{c} & \left( \begin{array}{r} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{r} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & -6 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{r} 3 & -7 \\ 3 & -8 \\ -9 & 15 \end{array} \right) \end{array} </math>
Hierbei steht die Produktmatrix <math>C</math> unten rechts.
Rechenweg
Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass <math>C</math> eine <math>(3 \times 2)</math>-Matrix sein muss.
| Spalte j | ||||
| 1 | 2 | |||
| −1 | 1 | |||
| Zeile i | 1 | −2 | ||
| 1 | 1 | 4 | ||
| 2 | 2 | 5 | ||
| 3 | 3 | −6 | ||
Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von <math>C</math> berechnet. Meist fängt man beim Eintrag <math>c_{11}</math>an. Hierzu wird die 1. Zeile von <math>A</math> mit der 1. Spalte von <math>B</math> „multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: <math>1 \cdot (-1) + 4 \cdot 1</math>. Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von <math>A</math> und der 1. Spalte von <math>B</math> eingetragen.
| 1 | 2 | |||
| −1 | 1 | |||
| Zeile i | 1 | −2 | ||
| 1 | 1 | 4 | 3 | |
| 2 | 2 | 5 | ||
| 3 | 3 | −6 |
Die erste Zeile von <math>A</math> wird mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{12}=-7</math>.
| Spalte j | ||||
| 1 | 2 | |||
| −1 | 1 | |||
| Zeile i | 1 | −2 | ||
| 1 | 1 | 4 | 3 | −7 |
| 2 | 2 | 5 | ||
| 3 | 3 | −6 | ||
Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von <math>A</math> mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>3 \cdot 1 + (-6)\cdot(- 2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{32} = 15</math>.
| Spalte j | ||||
| 1 | 2 | |||
| −1 | 1 | |||
| Zeile i | 1 | −2 | ||
| 1 | 1 | 4 | 3 | −7 |
| 2 | 2 | 5 | 3 | −8 |
| 3 | 3 | −6 | −9 | 15 |
Literatur
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- Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.
Weblinks
- Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation
- Dankert: Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung. HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022