Gabor-Filter

In neurophysiologischen Untersuchungen konnte gezeigt werden, dass das Übertragungsverhalten des visuellen Systems höherer Lebewesen in einer bestimmten Verarbeitungsstufe, im Bereich der sogenannten einfachen Zellen, erstaunlich genau durch Gaborfunktionen modelliert werden kann.<ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref><ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref><ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref> Die zwei existierenden Theorien über das visuelle System, auf der einen Seite das Modell der lokalen rezeptiven Felder von Hubel und Wiesel<ref>D. H. Hubel, T. N. Wiesel: Receptive fields, binocular interaction and functional architecture in the cat‘s visual cortex. In: Journal of Physiology. Band 160. London 1962, S. 106–154. </ref> und auf der anderen Seite das visuelle System als Fourieranalysator<ref>F. W. Campbell, J. G. Robson,: Applications of Fourier analysis to the visibility of gratings. In: Journal of Physiology. Band 197. London 1968, S. 551–556. </ref> konnten durch dieses Modell erweitert und in gewisser Weise vereint werden.

Eine weitere wesentliche Eigenschaft der Gabor-Filter ergibt sich durch die spezielle Form der Filterfunktion. Gabor<ref name=":0" /> konnte zeigen, dass die nach ihm benannten Elementarsignale die Unschärferelation der Informationstheorie durch ihr minimales „Zeit-Bandbreite-Produkt“ an der unteren Grenze erfüllen. Für die Bildverarbeitung ergibt sich hieraus die Möglichkeit, Bilder frequenzselektiv bei optimaler Auflösung im Orts- und Ortsfrequenzbereich zu filtern. Wird der Filter so eingestellt, dass die Filterübertragungsfunktion keinen Gleichanteil aufweist und für negative Frequenzen verschwindet, spricht man von einem Quadraturverhalten. Diesen Filtern kommt in der Stereobildverarbeitung eine besondere Rolle zu, da sich die lokalen Bildverschiebungen (Disparitäten), die zur Tiefenrekonstruktion verwendet werden, aus der Phaseninformation der Filterantworten ermitteln lässt.<ref>C. Westelius, H. Knutson, J. Wiklund, C. Westin: Phase-based Disparity Estimation. In: L. Crowley, H. I. Christensen (Hrsg.): Vision as Process: Basic Research on Computer Vision Systems. Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58143-7, S. 157–178. </ref>

Definition

Datei:Impulsantwort Gaborfilter.png

Impulsantwort eines 2D Gabor-Filters mit Quadraturverhalten a) Realteil b) Imaginärteil<ref name=":1">Ralph Trapp: Stereoskopische Korrespondenzbestimmung mit impliziter Detektion von Okklusionen. Hrsg.: Georg Hartmann: HNI-Verlagsschriftenreihe. Band 43, 1998, ISBN 3-931466-42-6, urn:nbn:de:hbz:466:2-27002.</ref>

In der Signalverarbeitung kommen in Wesentlichen 1D und wie im Bereich der Bildsignalverarbeitung 2D Filter zum Einsatz. 2D-Garborfilter lassen sich wie folgt beschreiben: Wenn x=[x₁ x₂]^T die Bildkoordinaten sind, dann ergibt sich die Impulsantwort g(x) eines Gabor-Filters in exponentieller Schreibweise zu:

<math>g_{m,n}(x) = \frac{1}{2 \pi a_{n} b_{n}} e^{-\frac{1}{2} x^TA_{mn} x}e^{jk_{0mn}^Tx}</math>

Die Matrix A beschreibt hierbei die Form der Gauß'schen Einhüllenden des Filters.

<math>A_{mn} = \begin{bmatrix} \cos\phi_{m} & -\sin\phi_{m} \\ \sin\phi_{m} & \cos\phi_{m} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_n^{-2} & 0 \\ 0 & b_n^{-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\phi_{m} & \sin\phi_{m} \\ -\sin\phi_{m} & \cos\phi_{m} \end{bmatrix}</math>

Der Vektor k₀ bestimmt die Bandbreite und die Orientierung des Filters in der Bildebene. Wird der Filter derart eingestellt, dass die Modulationsrichtung in eine der Achsen der Gauß'schen Einhüllenden (Matrix A) zeigt, mit:

<math>k_{0mn}= k_{0n} \begin{pmatrix} \cos\phi_m\\ \sin\phi_m \end{pmatrix} </math>

ergibt sich eine Impulsantwort des Filters wie sie in der Abbildung dargestellt ist.<ref name=":1" />

Feature Extraktion aus Bildern

Datei:GaborFilterbank.png

Übertragungsfunktionen einer Gaborfilterbank als dreistufige Auflösungspyramide mit Quadraturverhalten, wobei die Ergebnisse mit 2ⁿ komprimiert werden können.<ref name=":2">Ulrich Büker, Siegbert Drüe, Nicolai Götze, Georg Hartmann, Björn Kalkreuter, Ralf Stemmer, Ralph Trapp: Vision based Control of an autonomous Disassembly Station. In: Robotics and Autonomous Systems. Band 35. North-Holland, Juni 2001, ISSN 0921-8890, S. 179–189, doi:10.1016/S0921-8890(01)00121-X.</ref><ref name=":1" />

Datei:GaborFilterbank2D.png

Gaborfilterbank im Ortsfrequenzraum als zweidimensionale Auflösungspyramide mit einer Orientierungsauflösung von Δφi=30°. Gezeigt sind die Halbwertskonturen der einzelnen Übertragungsfunktionen.<ref name=":2" /><ref name=":1" />

Eine Filterbank aus mehreren Gabor-Filtern mit unterschiedlichen Frequenzen und Orientierungen kann benutzt werden, um verschiedene Merkmale (Features) in einem Bild zu erkennen.<ref>Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung2 Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung</ref>

Werden die Filter dabei in Oktaven mit logarithmisch zunehmender Bandbreite eingeteilt, ergibt sich eine Auflösungspyramide mit der sich Grob-Feinstrategien in der Bildverarbeitung realisieren lassen. Hierbei können die Filterergebnisse bei Einhaltung des Shannon-Abtasttheorems entsprechend komprimiert werden, um den Berechnungsaufwand der nachfolgenden Verarbeitungsschritte zu reduzieren.<ref name=":1" /><ref name=":2" />

Die Übertragungsfunktion G(k) eines Gabor-Filters im (Orts-)Frequenzbereich (Fouriertransformation der Impulsantwort g(x)) ist definiert durch:

<math>G_{m,n}(k) = e^{-\frac{1}{2}(k-k_{0mn})^T (A_{mn}^{-1})^T (k-k_{0mn})}</math>

wobei k=[k₁ k₂]^T der räumliche Frequenzvektor bzw. der Ortsfrequenzvektor ist. Soll nun das Eingangsbild mit N Filtern unterschiedlicher Auflösung in Form einer Oktavbandeinteilung gefiltert werden, können die Modulationsfrequenzen k_0n wie folgt gewählt werden:

Die Filterergebnisse können anschließend mit dem Faktor 2ⁿ ohne Informationsverlust komprimiert werden.

Um gerichtete Informationen, wie Linien- oder Kantenverläufe aus Bilddaten zu extrahieren, können M 2D-Garbor-Filter mit unterschiedlichen Orientierungen und Modulationsfrequenzvektoren verwendet werden.

<math>\phi_m=m\Delta\phi</math> ; <math>m\in[0..M-1]</math>

In der Stereobildverarbeitung bieten orientierungsselektive Gabor-Filter die Möglichkeit, gerichtete Intensitätsänderungen (z. B. Kanten- oder Linienstrukturen) orthogonal zur Stereobasis (im Stereonormalfall) aus den Bilddaten herauszufiltern, um die Robustheit bei der Zuordnung korrespondierender Bildbereiche zu erhöhen (siehe Korrespondenzproblem).<ref>Ralph Trapp, Siegbert Drüe, Georg Hartmann: Stereo Matching with Implicit Detection of Occlusions. In: Hans Burkhardt, Bernd Neumann (Hrsg.): ECCV 1998: Computer Vision — ECCV’98. Band 1407. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1998, ISBN 3-540-64613-2, S. 17–33, doi:10.1007/BFb0054731. </ref>

Siehe auch

Gabor-Transformation

Einzelnachweise

Weblinks

MATLAB code for Gabor filters and Gabor feature extraction
3D Gabor demonstrated with Mathematica
python implementation of log-Gabors for still images
<templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Gabor filter for image processing and computer vision (Memento vom 29. Mai 2018 im Internet Archive) (demonstration)

Weiterführende Literatur