Gabor-Transformation
Die Gabor-Transformation (nach Dennis Gábor) ist eine spezielle (und in bestimmter Weise optimale) gefensterte Fourier-Transformation. Sie ist eng verwandt mit der Wavelet-Theorie und wird in vielen Bereichen der digitalen Signal- und Bildverarbeitung eingesetzt. Sie ist ein Spezialfall der Kurzzeit-Fourier-Transformation.
Allgemeines
Jede lokale Veränderung eines Signals <math>f</math> bewirkt eine Änderung der Fourier-Transformierten (FT) von <math>f</math> über der gesamten Frequenzachse. So überdeckt zum Beispiel der Graph der FT der Delta-Distribution (Dirac-Funktion) den gesamten Frequenzbereich. Die FT enthält daher keine lokalen Informationen des Signals <math>f</math>. Dies bedeutet andererseits, dass die Information des Frequenzspektrums den Zeitpunkt, in dem die Frequenz auftritt, nicht unmittelbar angibt. Eine Möglichkeit der Lokalisierung in der Zeit bietet die Kurzzeit-Fourier-Transformation ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}, kurz STFT), mit der der momentane Frequenzinhalt in einem Fenster <math>g</math> um den Punkt <math>\tau</math> beschrieben werden kann. Dabei wird für <math>g</math> üblicherweise eine schnell auf 0 abfallende Funktion gewählt, damit sie als Fenster wirkt.
- <math>
F^\mathrm{Fen}(\omega, \tau) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) g (t-\tau)e^{-\mathrm i\omega t}\mathrm dt </math>
Die Fourier-Transformierte mit Fenster ist somit von zwei Parametern abhängig, der Frequenz <math>\omega</math> und dem Zentrum der Lokalisierung <math>\tau</math>. Man spricht deshalb auch von einer Darstellung im Zeit-/Frequenzbereich.
Die STFT mit einer Gauß-Funktion <math>g_\sigma(t)</math> als Fensterfunktion wurde von Dennis Gábor 1946 verwendet:
- <math>
g_\sigma(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} </math>
Diese spezielle STFT heißt Gabor-Transformation. Bezeichnet man das Ergebnis der Gabortransformation von <math>f</math> mit <math>G_f</math> so ergibt wegen der Symmetrie von <math>g_\sigma</math>
- <math>\begin{align}
G_f(\omega,\tau) &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t)g_\sigma(t-\tau)e^{-\mathrm i\omega t}\mathrm dt \\
&=e^{-\mathrm i\omega \tau}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)g_\sigma(\tau-t)e^{\mathrm i\omega (\tau-t)}\mathrm dt \\
&=e^{-\mathrm i\omega \tau}(f(\tau) \ast (g_\sigma(\tau)e^{\mathrm i\omega \tau})) \\
&=e^{-\mathrm i\omega \tau}(f(\tau)\ast h(\tau))
\end{align}</math>
Im Zeitbereich stellt die Gaborfilterung daher bis auf den Faktor <math>e^{-\mathrm i\omega \tau}</math> eine Faltung dar. Dieser Faktor bewirkt jedoch lediglich eine Phasenverschiebung und kann daher bei Anwendungen, die nur die Amplitude des Ergebnisses berücksichtigen, vernachlässigt werden (Siehe Gabor-Filter).
Da die Fouriertransformierte einer Gauß-Funktion wieder eine Gauß-Funktion ergibt, stellt das Ergebnis der Gabortransformation sowohl im Zeit- als auch im Frequenzraum lokale Information dar. Das Filter kann jede beliebige elliptische Region des Zeit- oder des Frequenzraums überdecken. Ferner erzielt die Gabortransformation – unabhängig von der Anordnung – maximale gleichzeitige Auflösung im Zeit- und Frequenzraum, das heißt die Gauß-Funktion erreicht als (einzige) Fensterfunktion das Minimum der Unschärferelation <math>\sigma_g^2 \cdot \sigma_G^2 \geq \tfrac{\pi}{2}</math>, wobei <math>\sigma_g^2</math> die Varianz der Fensterfunktion im Zeitbereich (Zeitunschärfe) und <math>\sigma_G^2</math> entsprechend die im Frequenzraum (Frequenzunschärfe) angibt. Daraus ergibt sich direkt der reziproke Zusammenhang zwischen den Unschärfen und damit ein wichtiger trade-off. Das heißt, um die Auflösung im Zeitbereich zu verdoppeln, muss eine halbierte Auflösung im Frequenzraum in Kauf genommen werden, und umgekehrt.
Siehe auch
- Laplace-Transformation
- Diskrete Fourier-Transformation
- Diskrete Kosinustransformation
- Wavelet-Transformation
- Gabor-Filter
Literatur
- Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Gabor Analysis and Algorithms“, Birkhäuser, 1998; ISBN 0817639594
- Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: „Advances in Gabor Analysis“, Birkhäuser, 2003; ISBN 0817642390
- Karlheinz Gröchenig: „Foundations of Time-Frequency Analysis“, Birkhäuser, 2001; ISBN 0817640223
Weblinks
cs:Gaborova vlnka es:Filtro de Gabor fr:Filtre de Gabor it:Filtro di Gabor ja:ガボールフィルタ ru:Фильтр Габора tr:Gabor Filtresi